Scholieren.com forum - [WI] Complexe getallen

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [WI] Complexe getallen - Vierkantswortels (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1681549)

[WI] Complexe getallen - Vierkantswortels

Dit kan heel dom klinken, maar weet niet hoe eraan te beginnen..

z = -4
z = -i

Hoe los je dit in godsnaam op?
Groetjes.

Ohja, de vraag is natuurlijk hoe je er de vierkantswortel uithaalt..

Je wilt dus weten hoe je $\sqrt{-4}$ en $\sqrt{i}$ bepaalt. De eerste is nogal gemakkelijk te vinden. Er geldt: -4=4*-1=4*i², dus $\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot i^2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{i^2}=2i$ . Omdat i²=(-i)² geldt echter ook: $\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot (-i)^2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{(-i)^2}=-2i$ .
Om $\sqrt{i}$ te vinden ga je als volgt te werk: stel $\sqrt{i}=a+bi$ , dan geldt: i=(a+b*i)²=a²-b²+2*a*b*i. Hieruit volgt: a²-b²=0 en 2*a*b=1. Uit a²-b²=0 volgt: (a+b)(a-b)=0, dus a+b=0 of a-b=0, dus a=-b of a=b. Uit a=-b volgt: 2*a*b=-2*a²=1, dus $a^2=-\frac{1}{2}$ . Omdat a reëel is kan a² alleen groter of gelijk aan 0 zijn, dus er moet blijkbaar gelden: a=b en 2*a*b=1, dus 2*a*b=2*a²=1, dus $a^2=\frac{1}{2}$ , dus $a=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ of $a=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ . We vinden dus: $\sqrt{i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2} i\sqrt{2}$ of $\sqrt{i}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2} i\sqrt{2}$ .

Citaat:

Lifeismusic schreef: (Bericht 27313173)

dankjewel !!

Graag gedaan.:)

Citaat:

Ayrad schreef: (Bericht 27315976)

Sorry, jouw vraag is niet duidelijk. Wat wil je oplossen: z^2 = -4 of z^2 =-i
Maar oplossen: z=-4 [ dat is zoals x=4 los dat op ]
Graag opnieuw jouw vraag stellen

't is al opgelost ;)

Zoals mathfreak al zegt: de berekening van complexe wortels doe je door:
$\sqrt[g]{c+di} \Leftrightarrow a+bi = (c+di)^g$

Het makkelijkste is door a+bi om te zetten naar de geometrische vorm $z = re^{i \theta}= r(\cos \theta + i \sin \theta)$ , waarvan je veel makkelijker een macht kan nemen. Voor een n-de wortel, krijg je trouwens ook n uitkomsten, dat kan je als controle gebruiken :)

Ma 't is al goed hoor.. Hoe mathfreak t oplost snap'k het het beste, en wij moeten het ook op die manier oplossen. Toch bedankt voor de moeite !
Grtjs.

De wortel van een negatief getal is niet gedefinieerd, omdat zoals Mathfreak al aangaf de oplossing niet eenduidig bepaald is. Wel kun je een limiet bepalen in het complexe vlak. De conventie dat je de positieve oplossing neemt wordt dan meestal gebruikt, dus 2i.

Hierboven wordt gesuggereerd dat de wortel uit een negatief getal niet eenduidig is bepaald.

De stelling van De Moivre stelt echter: $z^n = r^n (\cos n \theta + i \sin n \theta)$
Stel we nemen inderdaad: $z = -4 \Rightarrow (-4)^{\frac{1}{2}} = |-4|^{\frac{1}{2}}(\cos( \frac{1}{2} \cdot \Pi) + \sin(\frac{1}{2} \cdot \Pi)) = 2 \cdot i$

Nu lijkt het alsof de wortel van een negatief getal wel degelijk eenduidig bepaald is. Of gaat het hierbij om een soort 'hoofdwaarde'? En zo ja, wat bepaalt dan welke de 'hoofdwaarde' zou moeten zijn? Het getal met een positief imaginair deel?

Merci voor eventuele verheldering.

Citaat:

spitsmuis1985 schreef: (Bericht 27328014)

Of gaat het hierbij om een soort 'hoofdwaarde'? En zo ja, wat bepaalt dan welke de 'hoofdwaarde' zou moeten zijn?

De conventie is dat je de hoek neemt in het interval -pi < theta <= pi. Je zou het ook anders kunnen kiezen en bijvoorbeeld -pi kunnen invullen i.p.v. pi.

Citaat:

spitsmuis1985 schreef: (Bericht 27328014)

Waar het in feite om gaat is dat je de waarde van een complex getal z bepaalt uit z²=w, waarbij w bekend is. Stel w= $r(\cos(\phi +2k\pi) + i\sin(\phi +2k\pi))$ , dan geldt: |z²|=|z|²=|w|=r, dus $|z|=\sqrt{r}$ en arg(z²)=2*arg(z)=arg(w), dus $\arg z=\frac{1}{2}\arg w=\frac{\phi}{2}+k\pi$ . Omdat de vergelijking z²=w 2 oplossingen heeft, zeg z₁ en z₂, is z dus niet eenduidig bepaald. Voor k=0 vinden we: $z_1=\sqrt{r}(\cos\frac{\phi}{2}+ i\sin\frac{\phi}{2})$ en voor k=1 vinden we: $z_2=\sqrt{r}(\cos(\frac{\phi}{2}+\pi) + i\sin(\frac{\phi}{2}+\pi))$ .
Voor z²=-4=4*i²=w geldt dus: |z|²=|w|=4=r, dus $|z|=\sqrt{4}=2$ en $\arg z^2=2\arg z=\arg w=(1+2k)\pi$ , dus $\arg z=\frac{1}{2}\arg w=(\frac{1}{2}+k)\pi$ , dus $z_1=2(\cos(\frac{1}{2}\pi+i\sin(\frac{1}{2}\pi))=2i$ en $z_2=2(\cos(\frac{1}{2}\pi+\pi) + i\sin(\frac{1}{2}\pi+\pi))=-2i$ .
Stel dat we z uit zⁿ=w moeten vinden, dan passen we hetzelfde idee toe. Stel w= $r(\cos(\phi +2k\pi) + i\sin(\phi +2k\pi))$ , dan geldt: |zⁿ|=|z|ⁿ=|w|=r, dus $|z|=\sqrt[n]{r}$ en arg(zⁿ)=n*arg(z)=arg(w), dus $\arg z=\frac{1}{n}\arg w=\frac{\phi}{n}+\frac{2k}{n}\pi$ . We vinden nu vanwege zⁿ=w n oplossingen, zeg z₁, z₂,...z_n. Laat z_j een oplossing zijn, dan wordt deze gegeven door $z_j=\sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\phi}{n}+\frac{2(j-1)}{n}\pi) + i\sin(\frac{\phi}{n}+\frac{2(j-1)}{n}\pi))$ . We vinden de waarde van z_j dus door k=j-1 te stellen.