[WI B1] Staartdeling
 

Dag mensen,

Misschien een vreemde vraag over iets wat ik allang had moeten weten, maar soit. Ik ben opgaven aan het maken voor wiskunde i.v.m. mijn examen en daar kwam de volgende vraag naar voren:

Laat zien dat de functie f(x) = (x^2+3x+4)/(x+2) ook geschreven kan worden als: f(x) = x+...+ ((...)/(x+2)).
In het antwoordenboek staat dat je dit met behulp van een staartdeling moet doen.
Maar ik heb echt geen idee hoe dat (ook alweer) moet :bloos:.
Mensen die mij kunnen helpen met een staartdeling met variabelen?

Ik ben jullie zeer dankbaar!

De notatie laat ik geheel aan jou over, maar het idee kan ik wel uitleggen.

Je wilt weten hoe vaak x+2 in x²+3x+4 zit. Je kijkt dan eerst naar de term met de hoogste macht van x. Dat is in dit geval x². Als je x+2 vermenigvuldigt met x krijg je x²+2x. Trek nu van x²+3x+4 één keer deze x²+2x af. Je houdt dan x+4 over. Je hebt nu net dus x keer x+2 van x²+3x+4 afgetrokken. Je hebt dus eigenlijk (x*(x+2)+x+4)/(x+2) = x+(x+4)/(x+2). Dit laatste kun je op een zelfde manier nog eenvoudiger schrijven, maar dat wil je nu waarschijnlijk zelf proberen.

In http://forum.scholieren.com/showthre...t=staartdeling wordt dit aan de hand van een ander voorbeeld nader uitgelegd.

Maar dan houd je x+4 over, en dan?
Ik ben echt heel slecht in wiskunde en alles moet meestal tot in de puntjes stap voor stap worden uitgelegd... ik heb dat andere voorbeeld wat mathfreak gaf ook bekeken, maar het is nog niet duidelijk genoeg.

Ik heb dus

x+2 /x^2+3x+4\
x^2 + 2x
____________
x + 4

En dan?

Het idee achter een staartdeling is het volgende: als een getal a door een getal b wordt gedeeld, dan kun je dit schrijven als a=b*q+r, waarbij q het quotiënt en r de rest voorstelt. Met dit idee kun je de deling van a door b door middel van een staartdeling als volgt weergeven:
b/a \q
b*q
---- -
r.
Voor de rest r geldt dus: r=a-b*q.
In dit geval hebben we a=x²+3*x+4 en b=x+2. We zoeken nu een q en een r met de eigenschap x²+3*x+4=q(x+2)+r, dus q*x+2*q+r=x²+3*x+4. We zien dus dat q blijkbaar een term x moet bevatten. Stel q=x+a, dan geldt: q*x+2*q+r=(x+a)(x+2)+r=x²+(a+2)x+2*a+r=x²+3*x+4, dus a+2=3 en 2*a+r=4, dus a=1 en r=4-2*a=4-2=2, dus q=x+1 en r=2. De gezochte staartdeling ziet er nu als volgt uit:
x+2/x²+3*x+4\x+1
x²+2*x
--------- -
x+4
x+2
----- -
2.
In feite pas je hetzelfde idee toe als bij een gewone staartdeling. Omdat x(x+2)=x²+2*x gaat x+2 in ieder geval x keer op x²+3*x+4. Door x²+2*x van x²+3*x+4 af te trekken houden we x+4 over. We kijken nu hoe vaak x+2 op x+4 gaat. Dit gaat 1 keer, dus door x+2 van x+4 af te trekken houden we 2 over. Dit is de rest die overblijft. Dat dit klopt kunnen we als volgt nagaan: uit a=b*q+r volgt: a-r=b*q. In dit geval vinden we: x²+3*x+4-2=x²+3*x+2=(x+1)(x+2).

Ah, eindelijk, het wordt langzaam helder :).
Hartelijk bedankt! (Nu dit nog zelf kunnen)