Scholieren.com forum - [WI] Differentieren

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [WI] Differentieren (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1713013)

[WI] Differentieren

Beste allen,

Ben al enkele dagen bezig om opgaven over differentieren te maken en ik stuit tot frustratie toe constant op problemen wanneer wortels en breuken in som is verwerkt. Allereerst, weet iemand een website of eventueel een boek waar de basisregels voor breuken en wortels (en liefst betrekking tot differentieren worden gebracht)? Of eventueel een site die stap voor stap uitlegt hoe ze differentiaal vergelijkingen hebben opgelost.

En kan worden uitgelegd hoe deze vergelijking wordt gedifferentieerd:

- ((sqrt)x+6)

en

- 2 / (x^2 + x)

Vele dank

Ik zal je eerste voorbeeld pakken. Je differentieert overigens geen vergelijking, maar een formule. Maar dat terzijde.

Je hebt de functie:

$f\left( x \right) = - \sqrt {x + 6}$

Zoals je ziet kun je de wortel zelf niet differentiëren. Daarom moet je de functie opslitsen in "schakels", door middel van de kettingregel. De kettingregel luidt:

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$

Stel we substitueren het gedeelte x + 6 voor u (dus u=x + 6). je krijgt dan:
$y = - \sqrt u$

Je kunt dan y naar u differentiëren (dy/du) dus de afgeleide van $- \sqrt u$ bepalen. Je krijgt: $\frac{{dy}}{{du}} = \left[ {- \sqrt u } \right]' = \left[ {- u^{\frac{1}{2}} } \right]' = - \frac{1}{2}u^{ - \frac{1}{2}} = - \frac{1}{{2u^{\frac{1}{2}} }} = - \frac{1}{{2\sqrt u }}$

Verder moet je dan nog u naar x differentiëren (du/dx). Dit is 1, want [x + 6]'=1.

Dan moet je dan dy/du en du/dx vermenigvuldigen (zie kettingregel). Je krijgt dan:

$f'\left( x \right) = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = - \frac{1}{{2\sqrt u }} \cdot 1 = - \frac{1}{{2\sqrt u }}$

Tot slot moet je dan nog x terug substitueren voor u, dus dan krijg je

$f'\left( x \right) = - \frac{1}{{2\sqrt {x + 6} }}$

Als je het trucje trouwens doorhebt kun je de meeste tussenstappen wel overslaan.

Citaat:

Gastqscqsc schreef: (Bericht 28126583)

Merk op dat de functie $h(x)=-\sqrt{x+6}$ op te vatten is als de samengestelde functie van f(x) = x+6 en $g(x)=-\sqrt{x}$ . De functie h is nu te schrijven als h(x)=g(f(x)) met h'(x)=g'(f(x))*f'(x) als afgeleide. Omdat f(x) = x+6 op te vatten is als de som van de functies u(x)=x en v(x)=6, is de afgeleide van f volgens de somregel gelijk aan u'(x)+v'(x)=1+0=1. Hierbij maak je gebruik van de regel dat de afgeleide van xⁿ gelijk is aan n*x^n-1, en dat de afgeleide van een constante functie de waarde 0 heeft. Door gebruik te maken van $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ volgt dan dat de afgeleide van $\sqrt{x}$ gelijk is aan $\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ , dus $g'(f(x))=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+6}$ , dus de afgeleide van $h(x)=-\sqrt{x+6}$ is gelijk aan $-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+6}$ .
Merk op dat $\frac{1}{x^2+x}=(x^2+x)^{-1}=(f(x))^{-1}$ . Volgens de kettingregel levert dit als afgeleide $f'(x)\cdot (f(x))^{-2}=\frac{f'(x)}{(f(x))^2}=\frac{2x+1}{(x^2+x)^2}$ op, dus dat geeft voor $\frac{-2}{x^2+x}$ de afgeleide $\frac{-2(2x+1)}{(x^2+x)^2}=\frac{-4x-2}{(x^2+x)^2}=-\frac{4x+2}{(x^2+x)^2}$ .

bij quotienten kun je ook altijd nog terugvallen op de quotientregel (als is dat vaak lastiger qua uitwerken)

Dat van die quotiëntregel klopt inderdaad: je mag gewoon die regel gebruiken, maar je zal vanzelf weel merken dat er termen wegvallen.

Die regel is trouwens de volgende:
$\frac{d}{dx} \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g \cdot f' - f \cdot g'}{g^2}$