Nakijken opgaven over redeneerregels.
 

Kan iemand deze uitwerkingen nakijken voor mij (als in, heb ik het goed gedaan en klopt mijn redenering)? Alvast bedankt! (⇔ is logisch equivalent)


p → q (1)
p → r (2)
q ∨ r (3)
-------------
∴ p

(3) ⇔ ~r → q (4)
(4) + (1) geeft p ∨ ~r (5)
(5) ⇔ r → ~p
(6) + (2) geeft p → ~p

p → ~p kan alleen waar zijn als p niet waar is, dus bovenstaande is niet geldig.




~p ∨ q (1)
~q ∨ r (2)
~r (3)
-------------
∴ ~p

(2) ⇔ ~r → ~q (4)
(4) + (3) geeft ~q (5)
(1) ⇔ ~q → ~p (6)
(6) + (5) geeft ~p

Deze is dus geldig.



p → q (1)
p → r (2)
~(p ∧ q) (3)
-------------
∴ ~p

(1) ⇔ ~q → ~p (4)
(2) ⇔ ~r → ~p (5)
(4) + (5) geeft ~q ∨ ~r (6)

(3) ⇔ p → ~q (7)
(6) ⇔ r → ~q (8)
(7) + (8) geeft p ∨ r

Nu staat er

p ∨ r
-------------
∴ ~p

Voor ~p om waar te zijn, moet p niet waar zijn dus de premise kan herschreven worden tot r ∨ F₀. Dit is logisch equivalent aan alleen r, dus is de conclusie waar omdat, in dit geval, ~p en r niet afhankelijk van elkaar zijn.



~p ∨ ~q (1)
r ∨ ~q (2)
~p (3)
-------------
∴ r ∨ ~p

(1) ⇔ p → ~q (4)
(2) ⇔ ~r → ~q (5)

(4) + (5) geeft p ∨ ~r (6)

Er staat nu

p ∨ ~r (6)
~p (3)
-------------
∴ r ∨ ~p

(6) ⇔ ~p → ~r (7)
(7) + (3) geeft ~r (8)

Er staat nu

~r
-------------
∴ r ∨ ~p

Als r ∨ ~p waar is en ~r ook, is het alsnog mogelijk voor de conclusie om niet waar te zijn, dus is de hypothese ongeldig.


En de laatste:

~r (1)
p → r (2)
q → r (3)
-------------
∴ ~(p ∧ q)

(2) + (3) geeft p ∨ q (4)

Er staat nu:

p ∨ q (4)
~r (1)
-------------
∴ ~(p ∧ q)

De waarde van (1) is niet relevant, dus die mag altijd waar zijn. (r = F₀ zodat r = T₀).
Wanneer p ∨ q waar is, is ~(p ∧ q) waar, dus klopt deze hypothese.


Sommige conclusies, zoals de laatste, heb ik bepaald met een waarheidstabel, maar iets zegt mij dat het ook anders kan.