Lineaire formules vergelijken
 

Halloo !

We hebben maandag een wiskunde proefwerk over lineaire formules enzo maar ik snap er niet echt veel van :confused:
een opdracht gaat zo:
De aantallen inwoners van de plaatsen A en B zijn gegeven door de formules N=18t + 2100 en N=30t + 1800.
Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2000.
a - welke formule hoort bij A? Waarom? ( snap ik nog wel )
b - In welk jaar hebben de plaatsen A en B even veel inwoners? Los een vergelijking op.
ik heb die zo opgelost:
30t+1800=18t+2100
30t-18t=-1800+2100
12t=300
t = 300:12=25
dus bij 25 jaar. Is dat goed?
c - Er is een groot feest als de plaatsen samen 5000 inwoners hebben. In welk jaar is dat? ( deze vraag snap ik dus niet ) !

En een andere opdracht gaat zo:
Een amaryllis is een snel groeiende plant met prachtige bloemen. Mevr de jong koopt er twee. Plant 1 is bij aankoop 1.5 cm hoog en groeit per dag 11 mm. Plant 2 is bij aankoop 7.5 cm hoog en groeit per dag 8 mm.
a - geef voor beide planten de formule van de hoogte h in cm. Neem de tijd t in dagen met t = 0 op het moment van aankoop.
b - Welke vergelijking moet je oplossen om te berekenen voor welke t de planten even hoog zijn? Los die vergelijking op.
c - mevrouw de jong wil weten wanneer plant 2 twee keer zo hoog is als plant 1. welke vergelijking moet ze oplossen? Op de hoeveelste dag is het geval

Die tweede opgave snap ik helemaal niet!

Alvast bedankt voor degene die me zouden willen helpen!

Opgave B klopt helemaal.

C vraagt je eigenlijk wanneer de dorpen, samen, 5000 inwoners hebben. Hoe zou je dat op kunnen lossen. Probeer de vergelijkingen gelijk te stellen aan een nummer.

A - Probeer de waarden te substitueren. Hoe kan je de waarden die gegeven zijn gebruiken om een vergelijking op te stellen?
B - Je wilt dus weten op welke dag de planten even hoog zijn. Je moet iets dus gelijkstellen. Wat?
C - Zelfde principe als B, andere nummers. Probeer de vergelijkingen die je vond in opgave A gelijk te stellen.

Vraag A hangt maar af van de opgave, wat ze als grootste stad geven en dergelijke. Je antwoord op B klopt. En bij vraag C moet je eens nadenken: wanneer hebben beide steden samen 5000 inwoners? Je weet dat er in A op het moment t juist 2100 + 18t inwoners zijn en in B zijn er op datzelfde moment t juist 30t + 1800. Hoeveel inwoners zijn er op moment t dan in A en B samen? Als oplossing zou je 23 jaar moeten uitkomen (exacte uitkomst van 22,9166...).

De vragen zijn geheel analoog (gelijklopend) aan die van je eerste opgave. Uit je eerst opgave heb je twee formules berekend, ik ga ze hier voorstellen door een algemene vorm:
voor de hoogte van plant 1 op moment t is de hoogte = h = at + b
voor de hoogte van plant 2 op moment t is de hoogte = g = ct + d
Hierin zijn a, b, c, en d gewone constantes (dus getallen die uit de opgave kan halen, in je formule zijn dat dus geen letters meer, maar echte waarden).

In vraag b moet je zien dat de planten even hoog zijn; dus dat de hoogte van 1 gelijk is aan de hoogte van 2; ofwel h =g. Daarin vul je dan de formules van hierboven in, met de juiste waardes van a,b,c,d ingevuld en daaruit bereken je voor welke t dat geldig is. Dan heb je het moment waarop het klopt en dus ook je oplossing. Vergelijk jee werkwijze ook eens met die van je eerste oefening, vraag B.

Vraag C is een klein beetje moeilijker, maar eigenlijk vrijwel gelijkaardig. Je moet berekenen wanneer plant 2 dubbel zo hoog is als plant 1; dus hoogte van 2 = 2 * hoogte van 1. Ofwel g = h*2. Hierin ook weer je formules invullen, oplossen naar t en je hebt je antwoord (dan gaat de vergelijking op, dus door die gelijkheid te stellen, leg je een voorwaarde op aan je wiskundige vergelijkingen; door dat te doen, krijg je normaalgezien een bepaald aantal waardes voor je onbepaalden (t in dit geval), in een lineaire vergelijking gaat dat 0, 1 of een oneindig aantal uitkomsten. Bij nul uitkomsten, wilt dat zeggen dat er ook geen oplossing is (bv. je wilt weten wanneer een bepaalde plant even groot is als een anderen; maar je plant blijft altijd kleiner dan je plant waarmee je wilt vergelijken), je gaat meestal 1 oplossing uitkomen (dat is de situatie waar je ook werkelijk iets van informatie bijkrijgt, dus een moment waarop je planten bv. even groot of dubbel zo groot, ... zijn). Een oneindig aantal oplossingen kom je uit als je bv. wilt weten wanneer ze even groot zijn, maar ze zijn altijd even groot (je koopt 2 identieke planten die even snel groeien, die zullen volgens die formules dus ook steeds even groot blijven (h = h zal steeds geldig zijn)). Maar uit dat laatste geval haal je ook weinig informatie natuurlijk.

Oke bedankt voor het reageren!

Ik begin het nu een beetje te snappen, hoe het inelkaar zit met die vergelijkingen enzo
maar ik snap nog steeds niet hoe jullie dat doen bij beide vragen C!
Waar moet je wat invullen :confused: ik heb het een aantal keer bekeken maar ik kom er nog steeds niet uit. :|

Laten we onderdeel c van de eerste opgave eens nader bekijken: je weet van iedere stad hoe het aantal inwoners N afhangt van het aantal jaren t. Stel het aantal inwoners van de ene stad N₁ en die van de andere stad N₂, dan zoeken we een waarde voor t waarvoor geldt: N₁+N₂=5000. Omdat je weet hoe N₁ en N₂ van t afhangen levert dit dus een vergelijking in t op, waaruit t, en dus het gevraagde aantal jaren, is op te lossen.
Bij onderdeel c van de tweede opgave heb je een soortgelijke situatie: stel de hoogte van plant 1 h₁ en die van plant 2 h₂. Je weet hoe h₁ en h₂ van het aantal dagen t afhangen. Omdat je wilt weten wanneer plant 2 een hoogte heeft die 2 maal zo groot is als plant 1 zoek je een waarde voor t waarvoor geldt: h₂=2*h₁. Dit levert dus een vergelijking in t op, waaruit t, en dus het gevraagde aantal dagen, is op te lossen.

:bloos: oke, dus eigelijk moet je bij de eerste opgave N x ... + N x .... = 5000 doen?

En dan heb ik verder nog andere vragen van een andere paragraaf ( Lineaire functies ) waar ik niet uit kom;

Gegeven zijn de functies f(x)=5x-20 en g(x)=-3(x-7)
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A en de y-as in het punt B.
a) bereken de coördinaten van de punten A en B.

De grafiek van g snijdt de x-as in het punt P en de y-as in het punt Q
b) bereken de coördinaten van de punten P en Q.

Sorry als ik teveel niet snap :bloos:

Wellke formule zou je voor de x-as en y-as opstellen, misschien moet je daar eens mee beginnen. Dan kan je zoalls bij de voorbije opgaves werken: een snijpunt komt neer op het gelijkstellen van je vergelijking van je formule voor je ene kromme (een rechte (bv. een as), een parabool of eigennlijk om het even welke functie).

Als je uit die assen niet uitkomt: maak een tekening van enkel je assen. Neem nu enkele punten van je assen en bepaal de coördinaten. Bedenk je dan dat coördinaten in de vorm (x,y) zijn en bedenk je welke coördinaat identiek blijft, dat is je vergelijking (enkel voor je assen natuurlijk; voor rechten, moet je een algemenere werkwijze gebruiken).

Met zo veel vragen zou ik trouwens ook eens aan je leerkracht vragen om wat hulp, omdat die je wat rechtstreekser hulp kan bieden dan wij hier.

Nee, het gaat er om dat het aantal inwoners van de ene stad plus het aantal inwoners van de andere stad samen gelijk is aan 5000. Omdat je voor iedere stad weet hoeveel inwoners die stad heeft na t jaar, moet je dus het aantal inwoners van de ene stad (uitgedrukt in t) bij het aantal inwoners van de andere stad (eveneens uitgedrukt in t) optellen. Omdat je weet dat dit samen gelijk is aan 5000 levert dit dus een vergelijking in t op, waaruit t, en dus het gevraagde aantal jaren, is op te lossen.

Als f een functie is, dan vind je het snijpunt van de grafiek van f met de X-as door de vergelijking f(x)=0 op te lossen. Het snijpunt van de grafiek van f met de Y-as vind je door x=0 in te vullen.

De eerste vraag kom ik écht niet uit :n hoe ik ook nadenk.

De tweede vraag heb ik proberen op te lossen en dit kwam eruit;

a) f(x)=0
5x-20=0
5x=20
x=20:5 = 4
snijpunt met de x-as is B(4,0)

f(0)=5x0-20=0-20=-20
snijpunt met de y-as is A(0;-20)

b) g(x)=0
-3(x-7)=0
-3x=7
x=7:-3=-2.3
snijpunt met de x-as is P(-2.3;0)

g(0)=-3x(0-7)=0=0-7=-7
snijpunt met de y-as is (0,-7)

Welke eerste vraag ,want je hebt er al zovelen gesteld.

Verder is je oplossing voor de snijpunten van g(x) niet juist. Maak die berekening eens opnieuw en maak gerust alle tussenstappen, niet te veel stappen proberen overslaan zoals je eigenlijk probeert te doen.

Je hebt g(x) = -3*(x-7). Eventueel kan je dat naar een normalere vorm uitwerken via de distributiviteitseigenschap (A*(B+C) = A*B + A*C, en idem met mintekens maar natuurlijk je plus vervangen door een min). Je snijpunt zou op (0,21) moeten uitkomen. Denk eraan: haakjes hebben voorrang op bewerkingen (eerst haakjes, dan machten/wortels, dan vermenigvuldigingen/delingen en dan pas optellingen/aftrekkingen).

Werk het eens op je gemak uit, want volgens mij probeer je te snel alles af te hebben, maar daar kom je niet verder mee :)

Voor het aantal inwoners in de ene stad geldt: N₁(t)=18*t+2100, en voor het aantal inwoners in de andere stad geldt: N₂(t)=30*t+1800. Je wilt weten na hoeveel jaar, dus voor welke waarde van t, het totaal aantal inwoners voor beide steden samen gelijk is aan 5000, dus dat betekent dat je de vergelijking N₁(t)+N₂(t)=5000 moet oplossen.

Bij onderdeel a heb je wel de juiste waarde voor de snijpunten met de coördinaatassen berekend, maar je moet het snijpunt met de X-as A noemen en het snijpunt met de Y-as B. Er is volgens de opgave immers gegeven dat de grafiek van f de X-as in A en de Y-as in B snijdt.

eeey, ik wil jullie allemaal bedanken voor jullie uitleg ik had een 7.7 voor het pw, wat een record voor mij is ! Dus nogmaals bedankt =)