PO Wiskunde
 

Hallo,
Ik moet voor school (6VWO) een po maken voor wiskunde. De vraagstelling is als volgt:
Als je drie punten op een cirkelrand tekent ontstaan 4 gebieden. Bij vijf punten vind je(max.) 16. Maar bij 6 punten geen 32 maar 31. Hoeveel gebieden kun je (max.) krijgen bij 12 punten op de cirkelrand?
(Er staat bij dat het vooral gaat om het vinden van recursieve formule..)

Ik hoop dat iemand kan helpen met de uitwerking hiervan.
Alvast bedankt!!

ik ben er zelf nog niet uit, maar het begin is waarschijnlijk dat bij het verbinden van de naast elkaar gelegen punten, er net zoveel gebieden als punten ontstaan ("cirkelboog-gebieden").

Het gaat dus eigenlijk om het gebied binnen deze driehoek, vierhoek, enz.

Ik denk ook dat Vinniebar daar al een mooi spoor volgt, zodat je eigenlijk nog maar hebt uit te zoeken als je een veelhoek hebt met n hoekpunten die je dan onderling gaat verbinden, hoe veel deelgebieden je maakt.

Ik ken zelf amper iets af van grafentheorie, maar met wat geluk zijn in dat vakgebied van de wiskunde wel dingen te vinden (het is echt een wilde gooi, want ik ken heel weinig van grafentheorie). Grafentheorie gaat (kort door de bocht) namelijk over het verbinden van punten en de bijhorende eigenschappen van de paden tussen die punten (dus met wat geluk zijn daar ook eigenschappen voor de tussenliggende deelgebieden voor gekend).

Als je de recursieve formule wilt vinden dan wil je uitgaan van het getal dat je gevonden hebt voor 2 punten, en vanuit dat getal naar de waarde voor 3 punten. (dacht ik)
Je formule wordt dan:
X_n = X_n-1 + "iets"
Ik zie echter geen verband in deze tabel
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 31

Wat het ook lastig maakt is dat je de punten "willekeurig" op de cirkel mag zetten. Als je ze allemaal op gelijke afstand van elkaar zet kom je bij 6 punten op 30 gebieden, omdat ze in het midden dan allemaal precies kruisen je dat gebied niet hebt.

Misschien ook een optie om te kijken hoe je "steeds meer vlakken krijgt" als je lijnen trekt vanuit de hoeken van de veelhoeken.
bij driehoek begint het met 1 en blijft het 1
bij vierkant begin je met 1 daarna 2 en daarna 4
bij vijfhoek begin je met 1 daarna 3 dan 8 en tot slot 11
bij zeshoek is de reeks 1 4 13 19 25
bij zevenhoek begint het met 1 5 19 31 (en toen was ik het zat)

http://www.mathopenref.com/polygondiagonal.html

De reeks bij "regular polygons" is qua diagonalen:
n(n-3) / 2 = 0, 2, 5, 9 (bij 12 punten is het dus (12*9)/2 = 54 diagonalen)

En qua vlakken kan ik helaas geen formule vinden maar de reeks is
1, 4, 11, 24

Maarja, die zijn dus met allemaal gelijke afstanden op de circel, en wijken dus al vrij snel af.

*edit*
Er zijn dus 54+12=66 lijnen in de circel die alle punten met elkaar verbinden. (11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66)