algeleidenvraagstuk
 

ik weet niet hoe ik hier aan moet beginnen :(...

In welk punt van het eerste kwadrant, gelegen op de parabool p <-> y=4-x² zal de raaklijn aan p met de 2 coördinaatassen een driehoek met minimale oppervlakte vormen?

ik ook nie:p

bedant gysèlle xD

tis bedankt :), foutje, zelfs da lukt nie.

Je weet dat je te maken hebt met de parabool y=4-x². Dit is de grafiek van een tweedegraadsfunctie f, gedefinieerd door f(x)=4-x². Stel de raaklijn aan de grafiek van f gaat door (a,f(a)). Omdat dit punt in het eerste kwadrant moet liggen geldt: a>0 en f(a)>0. Omdat de raaklijn door (a,f(a)) gaat weet je dat f'(a) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is en kun je dus de vergelijking van de raaklijn opstellen. Stel dat deze raaklijn de vergelijking y=mx+n heeft, dan geeft mx+n=0 de waarde voor het snijpunt met de X-as en (0,n) is dan het snijpunt met de Y-as. De raaklijn sluit nu samen met de 2 coördinaatassen een driehoek in. Omdat je weet waar de raaklijn de coördinaatassen snijdt weet je ook wat de afmetingen van de zijden van de driehoek zijn, en kun je dus de oppervlakte van de driehoek berekenen.

al bedankt voor uw reactie, ik kan uw redenering goed volgen maar hoe vul ik dan al die onbekenden in?

de richtingscoëfficiënt van je raaklijn moet gelijk zijn aan de richtingscoëfficiënt van je parabool in dat punt (anders is het geen raaklijn). In mathfreak's woorden: f '(a)=m. Verder weet je dat de raaklijn door het punt (a,b) van je parabool moet gaan (wederom anders is het geen raaklijn). Dit levert je de vergelijking b=m*a+n. Aangezien m inmiddels bekend is is n de enige onbekende en kun je deze dus oplossen. Zo kun je in principe voor alle raaklijnen samenstellen. Je wilt echter die raaklijn met het kleinste oppervlakte van de driehoek die de raaklijn samen met de coördinaatassen snijdt. Je wilt dus ten eerste de snijpunten met de coördinaatassen weten. y=mx+n snijdt de x-as bij y=0 (dus mx+n=0 oftwel x=-n/m) en snijdt de y-as bij x=0 (dus y=n). We hebben nu dus de snijpunten (-n/m,0) en (0,n). Het oppervlak is minimaal als het product van deze twee minimaal is. (Dit is immers 2 keer de oppervlakte van de driehoek en de factor 2 maakt voor minimaliseren niets uit). Je wilt nu dus -n/m*n=-n^2/m minimaliseren. Hier kun je dan n en m invullen als functie van bijvoorbeeld je willekeurige x-coordinaat van het raakpunt a. Je krijgt dan een functie in a g(a). Door deze functie dan te minimaliseren met als eis a>0 krijg je een a. Het gezochte punt is nu (a,f(a)).

Bij dergelijk probleem begin ik meestal met uitdrukken wat je wilt minimaliseren/maximaliseren, en dat is een oppervlakte. Dat oppervlakte is afgesneden door 2 assen, dus als je de afgesneden stukken x₀ en y₀ noemt, krijg je al een uitdrukking die je kan afleiden. Van beide punten weet je ook dat ze op eenzelfde rechte liggen die bovendien de raaklijn is aan je parabool. En van die raaklijn weet je 4 dingen: hij raakt aan de parabool (richting), hij gaat door (0,y₀), (x₀,0) en (x,y) dat op de parabool ligt. Zoals je wel weet, is een rechte bepaald met 2 gegevens (2 punten, of een punt en een richting). Vermits je de parabool hebt, en dus ook de raaklijn, kan je x₀ en y₀ bepalen in functie van x (vermits je weet dat y=4-x²).

Hoe dat exact moet: je bepaalt eerst algemeen de vergelijking van je raaklijn:
(y_rl-y_p) = m(x_p) * (x_rl-x_p)

Hierin zijn de indices RL voor de raaklijn, P voor parabool en m(x_p) is de afgeleide van de parabool in het punt x_p. Daarin moet je dus nog de afgeleide uitwerken en je kan ook y_p = 4 - x²_p invullen. Door nu y_rl eens 0 te stellen, bepaal je x_rl = x₀ (en analoog voor x_rl). Vermits je dan uitdrukkingen hebt voor x₀ en y₀, kan je berekenen wat het oppervlakte is en dat kan je afleiden naar x_p. De verdere uitwerking zal je normaal zelf wel vinden :-)

In bijlage staat wat Matlab-code met de berekeningen (ik heb ze voor de rest manueel gemaakt), maar uiteindelijk kom ik geen minimum uit en natuurlijk ook wat grafiekjes, waarop je ziet dat het oppervlakte wel afneemt, maar geen echt minimum bereikt (tenzij je naar een gebonden minimum zoekt, dan kan je zeggen dat je op x = 2 een minimum hebt, maar dat vind ik niet echt een mooie oplossing, omdat je juist daar overgaat van kwadrant).

Dus ofwel klopt er iets niet aan je opgave, aan mijn uitwerking, ofwel moet je gewoon maar aannemen dat je op x=2 het beste af bent (maar zeker voor een opgave in het middelbaar vind ik dat een zware anti-climax).