Lyapunov
 

Hallo allemaal,


Om maar met de deur in huis te vallen:

"Assume that has at least one eigenvalue with real part positive. Prove then that there exists and satisfying the Lyapunov equation ()."


Hoewel ik niet denk dat het nodig is om iets van de context te weten om het probleem op te lossen, zal ik daar toch maar iets over zeggen. We hebben een differentiaalvergelijking . We nemen aan dat x* = 0 een evenwicht is en lineariseren de vergelijking: + hogere orde. We willen nu bewijzen dat dat evenwicht instabiel is als de matrix een eigenwaarde heeft met positief reëel deel (f ' is de jacobiaan van f en de A van hierboven is gelijk aan deze f '(0) ). Volgens het boek moeten we daartoe eerst het bovenstaande probleem oplossen.

Om de stabiliteit te onderzoeken wordt een kwadratische lyapunov functie gebruikt. Meestal zoekt men dan een zodat , want dan gaat V(x(t)) naar 0 (of blijft op z'n minst stabiel) wat impliceert dat het evenwicht stabiel is (dit is dus context en niet wat wij moeten doen).


We hebben al verschillende dingen geprobeerd, maar volgens mij is dat allemaal vrij hopeloos. Ik heb ook al genoeg getypt dus ik ga eerst maar even afwachten of er iemand is die überhaupt snapt waar het over gaat.

Mijn professor lijkt onbereikbaar, studiegenoten weten 't ook niet en ik moet a.s. maandag een presentatie houden over onder andere dit. Ik meen me te herinneren dat hier ook wel een paar mensen zijn met behoorlijk wat verstand van wiskunde dus vandaar dat ik dit maar even probeer :).