[wiskunde] exponentiele groei ofzo
 

ik zat me heel erg te vervelen thuis, en toen ben ik maar alvast met wiskunde begonnen.
eerste boel sommen gingen wel goed, alleen nu snap ik het niet meer...

de opdracht:
13. In de periode 1950-1970 nam in de VS het verbruik van kunstmest met 150% toe. De groei was in deze periode nagenoeg exponentieel.
a. Met hoeveel procent nam het kunstmestverbruik per jaar toe in deze periode?
b. In welk jaar was het kunstmestverbruik verdubbelt ten opzichte van dat in 1950?

a. kunstmest nam met 150% toe in 20 jaar.
de groeifactor g is 1+(150/100)= 2,5
g per jaar = g^(1/20) = 2,5 ^(1/20) = 1,0469
% per jaar = (g-1)x100% = (1-1,0469)x100% = 4,7%
dees snap ik dan nog, maar b niet meer...

b. in 1950 was kunstmestverbruik bv 100 kg, dus wanneer was t kunstmestverbruik 200 kg??
N=b.g^t

N= hoeveelheid (=200, dacht ik)
b= beginhoeveelheid (=100)
g= groeifactor (=2,5)
t= tijd (=??)
==> 200=100.2,5^t
en hoe moet ik nu verder?

nog een opdracht:
14. Een bacteriecultuur groeit exponentieel.
Op t=4 zijn er 50000 bacterien. Op t=8 zijn er 250000 bacterien
Hierbij is t de tijd in uren.
a. Met hoeveel procent neemt het aantal bacterien per uur toe?
b. Geef de formule van het aata bacterien N als functie van t.
van deze opdracht snap ik helemaal niks...
wie wel?

je hebt de verkeerde groeifactor genomen. Je moest als groeifactor die 1,0469 nemen.
Ik moet nu gaan, maar ik kom er later op terug. Als iemand anders dat dan niet gedaan heeft.

bij 13b dan, toch, want 13a klopt wel, ik kreeg daar hetzelfde antwoord als mijn antwoordenboekje

groeifactor per jaar is geen 2,5 maar 2,5^(1/20), dus:

200 = 100 . 2,5 ^ (1/20 . t)

Citaat:

nog een opdracht: 14. Een bacteriecultuur groeit exponentieel. Op t=4 zijn er 50000 bacterien. Op t=8 zijn er 250000 bacterien Hierbij is t de tijd in uren. a. Met hoeveel procent neemt het aantal bacterien per uur toe?

p = percentage
g = (1 + p/100)

250000 = g^4 . 50000

Citaat:

b. Geef de formule van het aata bacterien N als functie van t. van deze opdracht snap ik helemaal niks... wie wel?

N(t) = N(0) . g^t

N(4), N(8) bekent; N(0) = N(q) . g^(-q)

ja bij b

Dit heeft betrekking op opgave 13b. De groeifactor g wordt gegeven door g=2,5^(1/20), dus 200 = 100 . 2,5 ^ (1/20*t). Delen door 100 geeft:
2,5 ^ (1/20*t)=2. Neem nu van beide leden de logaritme. Dit geeft: t/20*log(2,5)=log(2), dus t/20=log(2)/log(2,5),
dus t=20*log(2)/log(2,5), dus t is ongeveer gelijk aan 15, dus in 1965 was het kunstmestverbruik 200 kg.

Dit heeft betrekking op opgave 14. Er geldt: N(t)=N(0)*g^t. Er is gegeven: N(4)=50000 en N(8)=250000, dus N(0)* g^4=50000 en
N(0)*g^8=N(0)*g^4*g^4=50000*g^4=250000, dus g^4=250000/50000=5, dus g=5^(1/4)=5^0,25.
Er is gegeven: N(0)* g^4=50000, dus N(0)*5=50000, dus N(0)=10000.
Om de procentuele groei per uur te bepalen stellen we: g=1 + p/100, dus g-1=p/100, dus p=100*g-100, dus p=100*5^0,25-100, wat ongeveer gelijk is aan 49,5, dus de toename per uur is 49,5 %. Omdat N(0) en g bekend zijn is het aantal bacteriën N(t) als functie van t ook bekend. Er geldt: N(t) =10000*5^(0,25*t).

opgave 14 ga ik nog een keertje rustig doorlezen, t antwoord klopt iig wel
en opgave 13b... wat is het logaritme?

[edit] opg. 14 ga ik rustig doorlezen als de printer weer kan printen :mad:
hij is helemaal leeg :(

Zie voor een definitie van het begrip logaritme met voorbeelden: http://forum.scholieren.com/showthre...ight=logaritme
Mocht je nog meer informatie willen, dan moet je me maar even een mailtje sturen.

Aangezien zij niet weet wat een logaritme is, denk ik dat ze dit dus nog niet heeft gehad. Dan mag je het ook niet gebruiken en moet het op een andere manier

In dat geval zal het met behulp van de grafische rekenmachine moeten met gebruikmaking van de SOLVE-opdracht. Overigens verwacht ik dat ze het komend schooljaar wel het een en ander over logaritmen zal krijgen en zeker daarna (ze heeft dan haar h.a.v.o.-examen achter de rug), aangezien ze voor lerares wiskunde wil gaan studeren.

Dan is het vreemd dat ze niet weet wat een logaritme is. Kreeg bij ons op school iedereen aan het eind van het 4e leerjaar

Misschien is het dit jaar nog niet bij hen aan bod gekomen om wat voor reden dan ook. Ik heb zelf, toen ik op de m.a.v.o. zat, de wiskundestof voor de brugklas in de eerste 2 jaar gehad en het merendeel van de tweede-klasstof in het derde jaar, waarna de rest in het vierde jaar werd behandeld.

wij hebben het niet gehad
en ik heb nog even in mn boek gekeken of het niet ergens stond, maar ik kon het nergens vinden.
Soms moeten we ook nog opdrachten maken uit een boekje om met de GR te leren werken, maar in dat boekje kon ik ook niks vinden over het logaritme.

Maar ik ga nu ff alles uitprinten (ook die link van mathfreak) en dan ga ik vanmiddag wel ff puzzellen

Als je hem niet via een logaritme weet op te lossen, dan moet je het naar alle waarschijnlijkheid gewoon met je GR oplossen. Ik leg zo wel uit hoe..

Eerst de opgave zelf nog een keer:
In 20 jaar is er een toename van 150%, oftewel de beginfactor wordt vermenigvuldigt met 1+(150/100) = 2,5.

De formule voor exponentiele groei:
N(t) = N(0) . g^t
kan je dan gaan invullen met de volgende waardes:
t = 20
N(t) = 2,5 . N(0)
Merk op dat je geen waarde toekent aan N(0). Deze is tenslotte niet gegeven. Je vult de rest wel in en je krijgt:

2,5 . N(0) = N(0) . g^20
2,5 = g^20
g = 1,0469
groei per jaar = 4,7%
Maar goed, dat antwoord had je al ;)

Je weet nu:
N(t) = 2. N(0)
En g = 1,0469
Invullen:

2 . N(0) = N(0) . 1,0469^t
2 = 1,0469^t

Nu verder met je GR aangezien je nog geen logaritmes hebt gehad. Ik ga er maar vanuit dat je een TI-83 hebt, anders weet ik het ook niet voor je ;)

Voer in:
Y1= 1,0469^t
Y2= 2

Plot de grafiek en stel het scherm zo bij dat je het snijpunt van de 2 grafieken goed kan zien. Ik had als scherm: [0,10]x[0;2,5] (das dus [Xmin;Xmax]x[Ymin;Ymax])

Ga naar het menu CALC (2nd TRACE) en kies optie 5:intersect. Je krijgt nu een cursor die zich bevindt op 1 van de grafieken. Verschuif de cursor zo dicht mogelijk bij het snijpunt van de 2 grafieken. Druk nu 3 keer op enter, en je krijgt een antwoord in de vorm van:
Intersection
x=15,129416 Y=2

Dus bij X = 15,1 is er sprake van een verdubbeling. Dat is dus in het jaar 1965. (Waarschijnlijk moet je afronden naar boven, dus het kan ook 1966 zijn)


N(t) = N(0) . g^t

Voor beide tijdstippen ga je zoveel mogelijk invullen.
Voor t = 4 krijg je dus:
N(t) = 50000
t = 4
In formulevorm:
50000 = N(0) . g^8

En voor t = 8:
N(t) = 250000
t = 8
==> 250000 = N(0) . g^8

Je weet nu op beide tijdstippen N(0) en g gelijk zijn. Je wilt g weten, dus je gaat beide schrijven in de vorm van 'N(0) = ...' zodat je ze vervolgens aan elkaar gelijk kan stellen.

Voor t = 4:
50 000 = N(0) . g^4
N(0) = 50 000/(g^4)

En voor t = 8
N(0) = 250 000/(g^8)

Aan elkaar gelijk stellen:
50 000/(g^4) = 250 000/(g^8)
250 000 . g^4 = 50 000 . g^8 (beide kanten delen door 50 000 . g^4)
5 = g^4
g = 1,495

Per uur is dat een toename van 49,5%

Dit is een kwestie van zoveel mogelijk waardes in de formule voeren, om zo N(0) te berekenen.

N(t) = N(0) . g^t
250 000 = N(0) . 1,495^8
N(0) = 250 000/(1,495^8)
N(0) = 10 000

Dus je formule is:
N(t) = 10 000 . 1,495^t

:)

idd :)

moet dus 50000 = N(0) . g^4 zijn, neem ik aan ;)

die 2e stap snap ik niet, als je van 50000/(g^4) = 250000/(g^8) naar 250000 . g^4 = 50000 . g^8 gaat.
maar het klopt wel... want 6/3 = 12/6
en 12x3 = 6x6
weetje, laat ook maar zitten, ik geloof dat ik die stap al wel snap :)

bedankt :)

Jah :o Ik moest wel vaker zo'n fout verbeteren; deze had ik alleen over het hoofd gezien :D

Mjah, dat is dus kruislings vermenigvuldigen :) Zal je nog wel vaker tegenkomen :p

Astu :)

had ik nog nooit van gehoort...
maa idd, bij de volgende 3 sommen (15 a,b,c) kwam ik het ook tegen :)

Nog even een toelichting op het begrip kruislings vermenigvuldigen: stel dat geldt: a/b=c/d, dan is dat als volgt te controleren: links en rechts met d vermenigvuldigen geeft: a*d/b=c. Vermenigvuldigen we nu links en rechts met b, dan geldt: b*a*d/b=a*d=b*c. We noemen a/b=c/d een evenredigheid (een gelijkheid van 2 verhoudingen, nl. a/b en c/d) en a*d en b*c de kruisprodukten (als je tussen a en d en b en c een lijn trekt vormen die lijnen een kruis), vandaar de term kruislings vermenigvuldigen.