Vierkant in een decagoon
 

In een decagoon teken ik het grootst mogelijke vierkant.
Wat is de verhouding van de oppervlakten?

oppervlakte vierkant / oppervlakte decagoon

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Tienhoek

lijkt me vrij simpel aangezien een vierkant gelijke ribben moet hebben, als het nou een rechthoek was...

Kom maar op met je antwoord dan.

Dit ruikt naar een strikvraag :P

Geen strikvraag. Het is alleen niet ''vrij simpel''. :P

Als je genoeg hebt aan een benaderde (numerieke) oplossing kan je altijd proberen gebruik te maken van een wiskundig tekenpakket (CaRMetal, Dr. Geo, ... of een echt CAD-pakket zoals Inventor/AutoCAD/...) en je probleem proberen construeren.

Je tekent dan een tienhoek en een vierkant waarvan je 1 hoekpunt op je tienhoek construeert, vervolgens moet je de andere hoekpunten ook op de tienhoek proberen construeren. Tot slot meet je de grootte van je tienhoek (bv. een zijde) en de grootte van je vierkant (ook een zijde bv.). Uit beide kan je hun oppervlakte berekenen en dus ook de verhouding van de oppervlaktes. Met heel veel geluk kom je tot iets dat je kan prutsen tot een propere breuk, maar die kans is vrij klein zou ik zeggen.

Ik kom voor de halve diagonaal van het vierkant uit op 4.32583 en voor de afstand tussen het centrum van de tienhoek een een hoekpunt op 4.50422 bij mijn gammele constructie (groene lijnen). In bijlage (gemaakt met CaRMetal) zit de bijhorende manuele constructie (spijtiggenoeg heb ik de laatste stappen op het zicht moeten doen, dus die numerieke waarden kunnen er wat naast liggen).

Als je een analytische uitkomst moet hebben; moet je alle gegevens proberen uit te drukken in een goed assenstelsel. Persoonlijk zou ik ervoor kiezen het centrum van de tienhoek en het vierkant hetzelfde te nemen. Dit vloeit voort uit de polaire symmetrie van vierkant en tienhoek (regelmatige veelhoeken zoals vierkant en regelmatige tienhoek zijn benaderingen van een cirkel; het voorbeeld van polaire symmetrie). Er zit nog meer symmetrie in het ding: als je wat me die tekensoftware speelt, zie je dat het hoekpunt van het vierkant maar op de helft van een zijde van de tienhoek kan liggen (de andere helft zou het spiegelbeeld zijn van die andere helft). Mijn gedacht zou zijn om ofwel de afstand tussen de twee hoekpunten als parameter te nemen en het probleem daarnaar te maximaliseren ofwel om de hoek tussen beide groene lijnen in de figuur als parameter te nemen. Waarschijnlijk bestaat er wel een of ander verband tussen die hoek en de middelpuntshoeken van een vierkant en een tienhoek en eenmaal je die hoek hebt, zal het ook wel lukken om de afstanden te bepalen en dus ook de oppervlaktes.

Ik heb gemerkt dat die hoek 9° moet zijn (of 27° maar dat is 36°-9°, dus identiek (vermits 36° de middelpuntshoek van een tienhoek is)). Wat er dan opvalt is dat dat bij elk hoekpunt van het vierkant zo is: dat ligt op de tienhoek en op 9° van een hoekpunt van de tienhoek. Ik denk dat er een bepaalde samenhang is tussen die hoek en het feit dat het hoekpunt op de tienhoek valt (wat in mijn ogen een nodige voorwaarde is om een zo groot mogelijk vierkant te maken). Het verband dat ik zie is dat 36° (middelpuntshoek van de tienhoek) + 9° = 45° oftewel de helft van de middelpuntshoek van een vierkant. In de optimale situatie merk je ook dat 2 van de zijden van de tienhoek evenwijdig zijn met 2 van het vierkant en 2 hoekpunten van de tienhoek vallen op de
middelloodlijn van de 2 overblijvende zijden van het vierkant.

Wat mij ook opviel, is als je de hoek 18° (36°/2) maakt, je vierkant het kleinst mogelijke is als je eist dat het midden samenvalt en een hoekpunt op de tienhoek ligt (2 hoekpunten liggen dan bovendien op 0° van 2 hoeken van de tienhoek). Als je de hoek dan verkleint, vergroot je het oppervlakte van het vierkant tot je bij 9° bent, waarna er 2 hoekpunten van het vierkant buiten de tienhoek vallen.

Ik raas maar af wat mij opvalt; maar een directe oplossing om te bewijzen dat het de optimale oplossing is, zie ik niet. Maar mijn intuïtie zegt dat 9° wel de juiste hoek is tussen de twee figuren.

Je kunt deze vraag oplossen door te kijken naar de tienhoek alsof het een cirkel is met een periodiek wijzigende straal

Gelukkig is het niet nodig om exact te bepalen, want door de symmetrie kunnen we er al wat interessante dingen over zeggen:
1. (de tienhoek is 36 graden rotatie-symmetrisch)
2. voor (hierbij kies ik bij een hoekpunt van de tienhoek, dan wordt de straal steeds kleiner tot 18 graden)
3. Dit heeft te maken met het feit dat een tienhoek opgebouwd is uit 10 gelijkbenige driehoeken.

Nu tekenen we daar het vierkant in met een diagonaal die ook van afhangt (omdat deze binnen de tienhoek moet blijven), dus (dit is de halve diagonaal, de straal dus.)
Omdat in een vierkant de diagonalen elkaar middendoor kruisen geldt:
4.

Nu is de oppervlakte van een vierkant evenredig met de diagonaal (uit pythagoras: ) Dus is de oppervlakte maximaal als de diagonaal van het vierkant maximaal is. De grootste diagonaal die we kunnen krijgen zonder dat deze buiten de tienhoek valt is als het uiteinde op de tienhoek ligt, oftewel:
5.
waarbij de hoek is waarbij het vierkant de maximale oppervlakte heeft.

Als we nu 1,4 en 5 combineren krijgen we:

Oftewel:
6.
Als we nu 3 en 6 combineren vinden we:
7.
En omdat 2 geldt is de functie voor één-éénduidig, wat betekent dat bij een bepaalde een bepaalde r hoort en vice versa. Hierdoor betekent 7 dat:
oftewel (zoals ILUsion al aangaf, die het hele inzicht voor dit bewijs overigens leverde, dank daarvoor).

Het enige wat we nu nog moeten doen is de straal (en daaruit de oppervlakte) te bepalen bij deze hoek. Ik gebruik hier de a uit de wikipedia-pagina van mathfreak en bepaal daarmee de kortste afstand middelpunt-rand tienhoek


De ratio is dan dus:


nb. Ik neem in dit bewijs wel aan dat het middelpunt van het vierkant en de tienhoek samenvallen. Waarom dit zou moeten weet ik zo 1-2-3 ook niet...

Mooi aangetoond; niet echt simpel en het zou me verbazen als ze dat in het middelbaar durven vragen (ofwel denken wij veel te ver; maar in ieder geval zou ik iets in die aard niet kunnen oplossen hebben 4 of 5 jaar geleden).

Mij lijkt het logisch dat beide middelpunten moeten samenvallen (anders was dat niet mijn eerste veronderstelling geweest). De reden (lees: geen formeel bewijs) hierachter is dat de regelmatige tienhoek rotatiesymmetrisch is rond zijn middelpunt; dat impliceert dat de oplossing ook rotatiesymmetrisch moet zijn rond dat middelpunt. Dat wilt zeggen dat er 2 mogelijkheden zijn: ofwel valt het middelpunt samen, ofwel niet (ja, moeilijk, he). Als ze niet samenvallen, kan je een vrij extreem geval bekijken waarbij het middelpunt van het vierkant midden tussen het middelpunt van de tienhoek en de tienhoek zelf valt. Langs een kant zal je vierkant de tienhoek raken (anders kan en moet je hem groter maken!) maar langs de andere kant zal je een heel groot gat krijgen juist doordat de zijden van een vierkant allemaal even lang zijn. Het middelpunt (van het vierkant) naar de tienhoek opschuiven maakt het probleem enkel erger, dus moet het middelpunt naar het andere middelpunt toe. Juist door de symmetrie van de tienhoek en het vierkant zal je merken dat bij een afwijking tussen de middelpunten je ene zijde (of eerder hoekpunt) van het vierkant laat samenvallen met de tienhoek maar dat je langs de andere kant nog ruimte over hebt. De beperking die de ene kant oplegt voorkomt dat het vierkant groter kan worden (en de diagonaal is sowieso kleiner dan de diagonaal als je het vierkant in het middelpunt zou plaatsen).

Logisch gevolg: de optimale positie voor het middelpunt van het vierkant is samenvallen met het middelpunt van de tienhoek. Als je daar de afmetingen van het vierkant laat toenemen, zal je ook merken dat de beperkingen in paren voldaan zijn: als de ene hoek op de tienhoek ligt, zal de overstaande er ook op liggen door de symmetrie.

Korte samenvatting: de oplossing moet eenzelfde symmetriepatroon hebben als je probleem (dat is altijd zo en dat kan heel wat problemen veel vereenvoudigen).