Scholieren.com forum - [WI] Domein en bereik TI-84

Het domein en het bereik is niet zo moeilijk om te "berekenen", meestal moet je gewoon een beetje nadenken.

Als je een functie y = f(x) hebt, kan je het domein en het bereik het beste zien alsof je een grafiek zou tekenen van die functie.

Ik zal het voorbeeld nemen van 3 verschillende functies:
$y1(x) = \mbox{boogtan}(x)$
$y2(x) = 1.5 \sin (x) + 4$
$y3(x) = \mbox{boogsin}(x)$

In de bijlage kan je de grafiek van elk van die functies bekijken en dat is ook hetgene wat je voor ogen moet proberen houden.

Nu, het domein is de verzameling x-waarden die een geldige functiewaarde y tot gevolg hebben (de x-waarden waarvoor de functie bestaat, dus). Niet alle x-waarden kunnen bv. in een functie ingevuld worden. Bv. f(x) = 1/x is geen geldige functie in x = 0 (want je mag niet delen door 0), dus dat hoort niet tot het domein.

Het bereik is een beetje het omgekeerde: dat is de verzameling van alle y-waarden die je kan bereiken met die functie. Een klassiek voorbeeld is een parabool: f(x) = x². Daarmee kan je enkel positieve getallen bereiken, want het kwadraat van elk reëel getal is positief; dus is het bereik de positieve reële getallen (notatie $[0,+\infty[ \mbox{ of } [0,+\infty) \mbox{ of } \mathbb{R}^+$ ).

Voor de eerste functie (y1), kan je als volgt redeneren. De boogtangens is de omgekeerde functie van een tangens (dus boogtan(tan(x)) = x). Van een tangens weet je waarschijnlijk wel dat die waarden van min oneindig tot plus oneindig (de hele reële verzameling dus) kan geven, dus moet de boogtangens voor al die waarden een resultaat hebben. Dat wilt zeggen: het domein van de boogtangens is $\mathbb{R}$ . Wat de boogtangens eigenlijk doet is een tangenswaarde omzetten naar een hoek, en hoeken kunnen uitgedrukt worden in graden (0° tot 360°) of in radialen (0 tot 2 pi). Voor de boogtangens heb je waarschijnlijk ook wel gezien dat hij een hoek tussen -90° en +90° teruggeeft, vermits hoeken tussen +90° en +270° dezelfde tangenswaardes hebben. In radialen is dat plus of min pi/2 (net iets meer dan 1.5 zoals je op de figuur ziet). Het bereik van de boogtangens is dus [-pi/2, +pi/2] (of [-90°, +90°]).

Voor de tweede functie, een kortere uitleg. Van de sinus (y4 = sin(x) )weet je dat die functie als domen $\mathbb{R}$ heeft en een bereik [-1,1]. Dat wilt zeggen dat een sinus(x) nooit groter kan worden dan 1 of kleiner dan -1 en je kan voor alle waarden van x de sinus berekenen. Maar in y2 heb je niet sin(x) maar 1.5*sin(x) + 4. Het domein wordt niet aangepast: je kan die functie nog steeds zonder probleem berekenen voor alle waarden van x. Maar het bereik is wel anders: 1.5 sin(x) heeft als bereik 1.5 * bereik van sin(x) dus [-1.5, 1.5]. Als we nog eens 4 optellen bij dat bereik (je sinus is 4 omhooggeschoven, krijg je het bereik van y2 te zien: [3.5, 5.5]. Dat kan je ook aflezen op de figuur.

Voor de derde functie: de boogsinus is de inverse functie van de sinus. Ik heb net uitgelegd dat het bereik van de sinus [-1, +1] is. De sinus van x geeft dus een waarde tussen min 1 en plus 1 terug. Van die waarde kan de boogsinus berekenen wat de hoek is die die waarde als sinus heeft. Maar dat wilt dus zeggen dat het domein van de boogsinus [-1, +1] is. Je kan immers niet boogsinus(1.000001) berekenen vermits er geen enkel reëel getal x bestaat waarvoor sin(x) = 1.000001 (het bereik van de sinus gaat maar tot 1!). Langs de andere kant geeft de boogsinus ook een hoek terug en je weet ook daar dat de sinus enkel uniek is voor hoeken tussen -90° en +90° (-pi/2 en +pi/2 radialen). Dus je boogsinus kan enkel waarden tussen die twee geven: het domein is zoals bij de boogtangens [-pi/2, +pi/2]. En dat zie je ook op de figuur.

Bij elk van de grafieken heb ik in dezelfde kleur nog een aanduiding gemaakt met pijltjes wat het bereik is (mogelijke y-waarden, dus een verticale pijl) en het domein (geldige x-waarden dus een horizontale pijl, buiten het kader wilt zeggen dat het naar oneindig gaat, maar zo ver kon ik niet tekenen :o)