Scholieren.com forum - [WI] Algebraisch nulpunten van cos/sin bereken

Je hebt de vergelijking:
$\sin(x)x\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$

Er zijn dus drie mogelijkheden:
$x=0 \ \mbox{of} \ \sin(x)=0 \ \mbox{of} \ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$

We moeten nu $\sin(x)=0$ oplossen, nu vermits $\sin(0)=0$ wordt de vergelijking $\sin(x)=\sin(0)$ dus krijg je als oplossing $x=0+2k\pi$ . De reden waarom je hier nog $2k \pi$ bij optelt (en $k \in \mathbb{Z}$ ) is dat je de goniometrische cirkel kan blijven rondgaan dus als je 360° (= $2\pi$ ) draait komt je terug in hetzelfde punt terecht, als je 720° draait ook, ...

Echter is $x=\pi+2k\pi$ ook een oplossing daar $\sin(\pi)=0$ en voor dezelfde reden als hierboven tellen we die $2k\pi$ er weer bij op.

We moeten nog $\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$ oplossen, vermits $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ geldt dus als oplossing:
$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$

Echter is $\cos(a)=\cos(-a)$ d.w.z dat we nog oplossingen hebben, nl:
$x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$

Samengevat is de oplossingenverzameling $V$ van deze vergelijking dus:
$V=\left \{2k\pi, \pi+2k\pi, \frac{3\pi}{4}+2k\pi, \frac{-\pi}{4}+2k\pi\right \} \ (k \in \mathbb{Z})$

Merk hierbij op dat de oplossing $x=0$ vervat zit in $2k\pi$ (want dan is k gewoon 0).

Zie dus zeker dat je al je regels goed kent i.v.m complementaire hoeken, supplementaire hoeken, ...