Scholieren.com forum - [WI] Integraal

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [WI] Integraal (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1866749)

Ik heb geprobeerd om de volgende integraal op te lossen, maar ik kom er maar niet uit.

$\int \frac{1}{(a-x)(b-x)} dx$

Ik heb al geprobeerd om te substitueren, maar dat leidde niet tot iets eenvoudigers. Ook heb ik geprobeerd om de breuk op te splitsen als $\frac{M}{(a-x)} + \frac{N}{(b-x)}$ , maar op die manier kwam ik er ook niet uit. Hebben jullie tips om het wel op te kunnen lossen?

Een manier om het te vereenvoudigen is de volgende:

$\frac{1}{(a-x)(b-x)}=\frac{1}{(a-x)(b-x)}*\frac{-1}{-1}=\frac{-1}{(x-a)(x-b)}*\frac{b-a}{b-a}=\frac{a-b}{(b-a)(x-a)(x-b)$

$=\frac{-(x-a)+(x-b)}{(b-a)(x-a)(x-b)}=\frac{-(x-a)(b-a)+(b-a)(x-b)}{(b-a)^{2}(x-a)(x-b)}=\frac{1}{(b-a)(x-a)}-\frac{1}{(b-a)(x-b)}=\frac{1}{b-a}*\frac{1}{x-a}-\frac{1}{b-a}*\frac{-1}{x-b}$

Deze laatste uitdrukking is makkelijk te integreren en daarna te vereenvoudigen.

Via breuksplitsing
$\frac{1}{(a-x)(b-x)}=\frac{M}{a-x}+\frac{N}{b-x}=\frac{M(b-x)+N(a-x)}{(a-x)(b-x)}$
$=\frac{Mb-Mx+NA-Nx}{(a-x)(b-x)}=\frac{(-M-N)x+(Mb+Na)}{(a-x)(b-x)}$

Hieruit kan je het volgende stelsel afleiden
$\left \{ \begin{array}{ll} Mb+Na = 1 \\ -M-N = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{ll} Mb-Ma = 1 \\ -M = N \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{ll} M = \frac{1}{b-a} \\ N = \frac{-1}{b-a} \end{array} \right$

Dit geeft dus uiteindelijk volgend resultaat
$\int \frac{1}{(a-x)(b-x)}dx = \int \left[ \frac{1}{(b-a)(a-x)}-\frac{1}{(b-a)(b-x)}\right]dx$
Wat je dus vanwege de lineariteit mag splitsen
$\int \frac{1}{(b-a)(a-x)}dx - \int \frac{1}{(b-a)(b-x)}dx = \frac{1}{b-a} \left( \int \frac{dx}{a-x}-\frac{dx}{b-x}\right)$
$= \frac{1}{b-a} \left [- \int \frac{d(a-x)}{a-x} + \int \frac{d(b-x)}{b-x} \right]$
$= \frac{1}{b-a} \left(-\ln|a-x|+\ln|b-x|\right)+C$
$= \frac{1}{b-a} \left(\ln\left|\frac{b-x}{a-x}\right|\right)+C$
$= \ln \left|\left(\frac{b-x}{a-x}\right)^{\frac{1}{b-a}}\right|+C$

Heel erg bedankt, allebei! Nu kan ik er wel weer verder mee :y