Kwadratische vergelijkingen met een parameter
 

Hallo allemaal!,

Ik had een vraagje over een wiskundeopgave waar ik niet op uit ben gekomen en daarom vroeg ik me af of jullie me zouden kunnen helpen.. Ik heb wel een antwoordenboek, alhoewel het toch echt gaat omdat ik het niet snap en er dan ook ontzettend graag een uitwerking bij zou willen hebben.

Het betreft immers deze sommen:

Voor welke p hebben de volgende vergelijkingen twee oplossingen?
a) xkwadraat + px + p +3 = 0

antw.= p<-2 ∨ p>6

b) xkwadraat + (p+4)x - 0,5p = 0

antw.= p<-8 ∨ p>-2

Een tweedegraads vergelijking heeft twee oplossingen als de discriminant groter is dan 0. We moeten dus de discriminant bepalen en kijken wanneer dat het geval is.

De discriminant van de vergelijking ax² + bx + c = 0 is D = b² - 4ac. Bij de eerste opgave geldt dat a = 1, b = p en c = p+3. Misschien vind je het gek dat je nu met letters moet rekenen, maar bedenk dat p geen variabele is maar een constante. Het is gewoon een getal, we weten alleen nog niet welk getal. De discriminant wordt nu D = p² - 4(p+3) = p² - 4p - 12.

De ongelijkheid p² - 4p - 12 > 0 kun je oplossen door eerst de gelijkheid p² - 4p - 12 = 0 op te lossen. Met ontbinden in factoren volgt dat (p-6)(p+2) = 0, dus dat p = 6 of p = -2. Door het maken van een schets van de grafiek bij y = p² - 4p - 12 (desnoods met je grafische rekenmachine) zie je dat deze grafiek boven de x-as ligt voor p < -2 en voor p > 6. Dus voor p < -2 en voor p > 6 geldt dat p² - 4p - 12 > 0, dus dat D > 0, dus dat de vergelijking ax² + bx + c = 0 twee oplossingen heeft.

Kun je nu de tweede opgave zelf?

Ontzettend bedankt, ik denk inderdaad dat de rest ook gewoon gaat lukken! Echt bedankt!