Scholieren.com forum - [WI] Impliciet differentieren

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [WI] Impliciet differentieren (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1884365)

Impliciet differentieren

Hallo allemaal, ik had een vraag betrekkende impliciet differentiëren.

Nu begrijp ik het normale differentiëren an sich. Alleen begrijp ik de stappen niet die worden genomen bij het impliciete differentieren.

Bijvoorbeeld de gegeven functie (zie afbeelding). In het boek staat vaak 'differentiate with respect to x'. Wat bedoelen ze hier precies mee?

http://img703.imageshack.us/img703/3639/b3q4.jpg

Bij deze functie heb je dus x²y³ - x³y² = 12. Nu moet ik de raaklijn hiervan vinden in het punt (-1,2). De uitwerking die in de afbeelding staat snap ik niet. Ik begrijp dat je eerst x differentieert, wat geeft 2xy^3, maar dan krijg je na 3x^2y^2 de y'. Waarom staat die niet ook na 2xy^3? En dan halen ze weer 2x^3yy' eraf.... :confused:

Iemand die weet hoe ik zo'n functie moet aanpakken?

Je moet het volgende goed in je hoofd houden:

x hangt af van x (logisch)
y hangt ook af van x

y is dus een functie van x! dit kan je dus zo noteren:
y = f(x)

begin functie:
$x^2y^3 - x^3y^2 = 12$

Schrijf die y als functie zodat je dat niet kan vergeten.
$x^2f(x)^3 - x^3f(x)^2 = 12$

Neem nu aan beide kanten de afgeleide:
$\frac{d}{dx} \left[ x^2f(x)^3 - x^3f(x)^2 \right] = \frac{d}{dx} 12$

Dat grote deel mag je opsplitsen in:
$\frac{d}{dx} \left[ x^2f(x)^3\right] - \frac{d}{dx} \left[x^3f(x)^2 \right] = 0$

Ik ga nu verder met het eerste deel van deze functie. Het deel na het - teken gaat op de zelfde manier.

Productregel:
$\frac{d}{dx} \left[g(x)\cdot h(x)\right] = g'(x)\cdot h(x)+ g(x)\cdot h'(x)$

Pas de product regel nu toe op jou functie:
$\frac{d}{dx} \left( x^2f(x)^3\right) = \frac{d}{dx} ( x^2) \cdot f(x)^3 + x^2 \cdot \frac{d}{dx} (f(x)^3)$

Vervolgens kan je dit uitwerken. Het eerste deel is makkelijk. bij het tweede deel moet je de kettingregel gebruiken.
$\frac{d}{dx} ( x^2) \cdot f(x)^3 + x^2 \cdot \frac{d}{dx} (f(x)^3) = 2x \cdot f(x)^3 + x^2 \cdot 3 f'(x) f(x)^2$

Als je nu f(x) weer terug schrijft als y krijg je:

$2x^2 \cdot y^3 + x^2 \cdot 3 y' y^2$

Snap je dit? Lukt het andere stuk je nu zelf?

Sorry voor het late antwoord, ik heb maar meteen een gebruikersnaam aangemaakt :)

Ik begrijp het nu iets beter. Helaas gaan we razendsnel door de stof heen en kom ik alweer op het volgende probleem:

Bij het oplossen van een second order IVP (initial value problem) begrijp ik niet wat ik moet doen.

Gegeven is:

y'' (de tweede afgeleide?) = sinx
y(π) = 2 (is dit wat ze in y(x) hebben ingevuld, dus de primitieve van y'?)
Dan: y'(π) = -1

Als sinx de tweede afgeleide is, hoe kan ik y' dan krijgen? Want (cos(x))' = toch -sinx? En als ik van -sin(x) de primitieve (de functie dus) wil, dan krijg ik cos(x)? Ik begrijp niet hoe ze aan die -cos(x) komen.

En als ik π invul in bijv. -cos(x), hoe krijg ik dan hiervan de functiewaarde zonder rekenmachine?:s

Bij een vergelijking als $y" = \sin(x)$ , moet je eerst de homogene oplossing vinden, d.w.z. de oplossing van $y" = 0$ (dit is niet zo moeilijk). Vervolgens tel je hierbij de zgn. particuliere oplossing op. Kies hiervoor gewoon een oplossing van de differentiaalvergelijking, $-\sin(x)$ dus. Nu heb je:

$y(x) = Ax + B - \sin(x)$ . Bepaal nu A en B aan de hand van de randvoorwaarden.