De cirkel
 

Hallo iedereen! Een nieuw schooljaar is begonnen en zo dus ook een nieuw jaar met 5 uur wiskunde. Dat brengt zo z'n problemen met zich mee. De eerste doen zich voor i.v.m. de cirkel, zoals de titel doet vemoeden.

Het eerste 'vraagstukje' geef ik ook mee in bijlage. Het probleem zit hem in het feit dat ik niet weet welke hoek ik eerst moet berekenen. Vooral omdat je geen middelpuntshoek of omtrekshoek gegeven krijgt. Zouden jullie me iets of wat op weg kunnen zetten? Voor alle duidelijkheid, het gaat om oefening 51.

Met vriendelijke groeten
Woopa

Merk om te beginnen op dat . Merk verder op dat en overstaande hoeken zijn en dat ABFE een vlieger is. Met behulp van deze gegevens kun je nu alle gevraagde hoeken berekenen.

Oke, hoek BFC is dan 106°. EFB is 74°. Daar kan ik mee. Maar wat bedoel je met een vlieger? Ik heb nog nooit van m'n leven over de vlieger iets gehoord in de wiskundeles ... Ik las wel op internet dat de diagonale loodrecht op elkaar staan? Heeft het daar iets mee te maken?

Een vlieger is een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en waarbij een van de diagonalen een symmetrie-as is. Bedenk dat de som van de hoeken van een vierhoek 360° is. In vierhoek ABFE is AF de symmetrie-as en geldt dat . Met behulp van deze gegevens kun je nu alle gevraagde hoeken berekenen.

Ja! Nu is het gelukt! Bedankt!

Morgen laad ik nog een andere vraagstukje op dat een ander soort oefening is. Je moet er verklaren of een bepaalde hoek gelijk is aan een andere. Maar dat is voor morgen. Nogmaals bedankt voor de hulp bij dit vraagstuk!!

Graag gedaan.:)

Oke, hier is het tweede vraagstukje. Ik denk dat ik het gevonden heb, maar ik ben het niet helemaal zeker.

Zoals je kan zien op de afbeelding, staan hoek BKA en hoek BPQ op dezelfde boog AB. Hiermee bedoel ik dat boogje van de grote, groene cirkel.

Verder staan hoek BQA en hoek BLA ook op dezelfde boog, namelijk AB, maar nu het resterende deeltje van de kleine cirkel.

Klopt het dat de driehoeken BPQ en KBL gelijkvormig zijn volgens het kenmerk HH? En dat daaruit dan volgt dat hoek B = B vanwege de hoekensom?

Ik kan B, K en A wel in de figuur zien, maar P en Q niet.

Ben ik nu die figuur vergeten uploaden? Mijn excuses! Hier de afbeelding!

Voor zover ik na kan gaan klopt je redenering inderdaad.

Dat is goed om horen! Nu heb ik wel nog 2 andere vragen gevonden die ik helaas niet weet op te lossen. Ze gaan niet meer over middelpunts -en omtrekshoek, maar elke keer een ander topic openen lijkt me ook niet zo handig. Vandaar dat ik ze ook hier post.

Bij de vraag met het vliegtuig:
Dit staat onder de paragraaf van raaklijn aan een cirkel. Hiermee zal ik dus aan de slag moeten. Alleen weet ik niet in welke driehoek ik moet werken. Er is gegeven dat A op 87° noorderbreedte ligt, maar ik weet niet wat ik daar mee moet aanvangen? Is dat een lengte-eenheid?


Vraag 98 (constructie)
Constructies zijn me nog nooit zelfstandig gelukt. Hier zit ik dus ook helemaal vast. Hopelijk kan iemand me helpen?

Met vriendelijke groeten
Woopa

Merk in de opgave over het vliegtuig op dat AV een van de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek is. Welke stelling ligt hier qua gebruik dus voor de hand?
Merk bij opgave 98 op dat de cirkel met middellijn AB een van de mogelijke cirkels is. Bedenk vervolgens dat het middelpunt van een andere cirkel met koorde AB op de middelloodlijn van koorde AB ligt.

De stelling van Pythagoras natuurlijk. Maar je kent maar één rechthoekszijde ...

Bij de constructie: De lengte van het lijnstuk AB is maar 5 cm, dus AB kan dan volgens mij geen middellijn zijn? Een tweede cirkel zou ik kunnen construeren door de middelloodlijn te tekenen/construeren van [AB] en dan 3 cm af te meten van het midden van [AB] naar boven of onder op die middelloodlijn?

Wat de opgave over het vliegtuig betreft moet je eens kijken of je met behulp van gelijkvormige driehoeken verder komt. Je weet in ieder geval de positie van A en de grootte van de aardstraal. De constructie die je met betrekking tot de koorde AB noemt is inderdaad de juiste.

Oke, die constructie zit dus goed.

Moet ik de koorde [AB] tekenen waarvan VM de middelloodlijn is? Of is dat al te ver gezocht?

Ga uit van het gegeven dat de hoek tussen de horizontale aardstraal en de aardstraal door A en het middelpunt 87° bedraagt. Trek nu vanuit A eens een denkbeeldig lijnstuk evenwijdig aan de horizontale aardstraal, en kijk eens of je daarmee verder komt.

Ik denk dat ik het antwoord bij toeval gevonden heb.
Ik heb met het goniometrisch getal tangens gewerkt. Ik stelde de hoek tussen VM en A (de kleinste dus) gelijk aan 87°.
Dan is tangens 87° = VA / AM (laten we M als middelpunt beschouwen)
Dan krijg je: |VA| = tan 87° x 6378 (=AM)

Dan pythagoras in driehoek VAM. Je krijgt dan dat |VM| = 6386,752823
Daar trek je 6378 van af en dat is dan ongeveer gelijk aan 8,75 km, de oplossing die vermeld staat achter in m'n boek.

Klopt m'n redenering?

Ja, dit is correct.

Hehe, dan is eerste reeks geen probleem meer :p .
Helaas veroorzaakt tweede reeks wel wat problemen. Heb 3 vraagstukjes (n°67, 68 en 69) gevonden waar ik met hetzelfde probleem zit. In welke driehoek moet ik werken?

Laten we beginnen met het eerste, oefening 67.

Daar leek het mij eenvoudige kost door hoek C te berekenen en dan de hoekensom in APC te doen, maar wat blijkt. Hoek A is geen 90°, zoals ik vermoedde. Want AC is geen middellijn...

Dus zocht ik verder, maar vond niks. Ik vermoed dat je wat moet bijtekenen, maar ik heb geen flauw benul wat precies.

Hopelijk kan iemand van jullie me helpen?

Maak bij 67 gebruik van het gegeven dat de cirkel de omgeschreven cirkel van de driehoek is, zodat het middelpunt van de cirkel het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek is.
Maak bij 68 gebruik van het gegeven dat de middelloodlijn van koorde AB door M gaat.

Dat middelpunt bepalen had ik al gedaan, maar heb ik opnieuw uitgegomd omdat ik niet wist wat ik er mee moest doen... Of moet ik met die middelloodlijnen werken?

En hoe weet je dat DAM = 45° Omdat AM de middellijn is?
M lijkt me dan 90° in de driehoek AMD, maar dat is niet het geval ...

Kijk bij 67 eens of je met eigenschappen van omtreks- en middelpuntshoeken kunt werken.

AM is in ieder geval geen middellijn, maar kijk eens of je verder komt met behulp van de middelloodlijn van AB.

Ik zie dat C en P op dezelfde boog staan, maar P is natuurlijk geen omtrekshoek... Met het gebruik van middelpunts- en omtrekshoek kom ik er echt niet uit vrees ik ...


Oefening 68 heb ik nu al de middelloodlijn van AB getekend, daarbij de raaklijnen die door A en B gaan doorgetrokken op die middelloodlijn zodat ze elkaar in een punt snijden en even lang zijn...

Het is me gelukt om nr 67 op te lossen! M.b.v. de middelpuntshoek! Bedankt!

Graag gedaan.:)

68 lukt me nog steeds niet.
Ik heb dus de middelloodlijn van AB getrokken, die ook door het middelpunt van de cirkel gaat. Verder heb ik ook de middellijnen AM en AB getrokken zodat er een rechte hoek ontstaat wanneer deze door het raakpunt gaan.

Maar dan stokt het...

Merk op dat ΔABM gelijkbenig is, waarbij AM = BM = r de gezochte straal van de cirkel is. Laat nu vanuit M een hoogtelijn PM neer op AB. Het verlengde van MP snijdt de cirkel in Q, zodat MQ = r.
Bedenk verder dat PQ+PM = r en kijk eens of je hiermee misschien iets verder komt.

Is er bij dat laatste iets niet fout? Ik zou denken dat PM - PQ = r. Kan dat?

Neen neen neen, ik kom er maar niet aan uit. Alle rechthoekige driehoeken waar ik wil in werken hebben maar 1 zijde gegeven ...

Je weet dat CD een raaklijn is en dat M op de middelloodlijn van CD ligt. Laat P het midden van CD zijn, dan weet je dat PM = r en AP = BP. Laat Q het midden van AB zijn, dan is PQ de hoogtelijn van de gelijkbenige driehoek ABP. Kijk eens of je hiermee misschien iets verder komt.

PA en PB heb ik dan uitgerekend, kom je aan vkw(125). Geweldig! Ik heb het!

Ik berekende hoek QPR door met de omgekeerde tangens van P te werken (5/10).
P is dan de helft van QMB die op dezelfde boog staat. Dus berekende ik M door 2 x P te doen. Dat was dan 53°7'48,368''.
De sinus van hoek QMP is dan gelijk aan 5/r. Dan formuletje omvormen en klaar is kees! 6,25 is het antwoord!

Bedankt voor de hulp!

Oke, raaklijn aan een cirkel heb ik nu onder de knie. Maar bij onderlinge ligging van 2 cirkels heb ik nog 2 probleemvraagjes gevonden.

Oefening 76
Constructie: daar heb ik altijd problemen mee. Ik dacht aan de middelloodlijn te tekenen die de 2 middelpunten verbindt, maar dan stokt het weer.

Oefening 78
Het enige wat ik daar weet is dat de afstand tussen het middelpunt van de kleine cirkel en de 2 middelgrote cirkels 1+r is. (r is hier gelijk aan de straal van de kleine cirkel)

Ik hoop dat je me nog eens kan helpen?

Edit: oefening 76 is me toch zelfstandig gelukt!