vectoren
 

(e1,e2,e3) is een basis van de reele verctorruimte R,V,+ en voor vector u ,element van V geldt:

u = k1u1+k2u2+k3u3 met k1 is niet 0


gevraagd wordt aan te tonen dat (u,e2,e3) een basis is van R,V,+

Weet iemand hoe dat moet ?

Omdat geldt: u = k1*u1+k2*u2+k3*u3 met k1 niet nul vatten we u1 op als een lineaire combinatie van u2 en u3, zeg u1=l1*u2+l2*u3. Dit geeft:
u=k1(l1*u2+l2*u3)+k2*u2+k3*u3
=(k1*l1+k2)u2+(k1*l2+k3)u3.
Laat (u2,u3) een onafhankelijk stelsel zijn, dan geldt: k1*l1+k2=0 en k1*l2+k3=0, dus k2=-k1*l1 en k3=-k1*l2. Invullen van deze waarden in u geeft: u=0.
Beschouw nu het stelsel (u,e2,e3). Stel u is een lineaire combinatie van e2 en e3, zeg u=a1*e2+a2*e3, dan geldt: a1*e2+a2*e3=0. Omdat (e2,e3) een onafhankelijk stelsel vormt vinden we: a1=a2=0, dus vormt (u,e2,e3) een onafhankelijk stelsel, zodat (u,e2,e3) een basis is van R,V,+.

shit, het is u = k1e1 + k2e2 + k3u3 volstaat het dan u1,u2 en u3 te vervangen door e1,e2 en u3 of wordt het bewijs dan helemaal anders ???

Wat je kunt doen is u3 opvatten als een lineaire combinatie van e1 en e2, waarbij (e1,e2) een onafhankelijk stelsel is. Voor het bewijs maakt dat verder waarschijnlijk niets uit.