v`(t) = a*e^b*v(t)
 

hoe los ik deze differentiaalvergelijking op :confused:

dus v`(t) = a*e^b*v(t)

Er staat toch v'(t) = dv/dt he?

Dus dv/dt = a*exp(b*v)

<=> dv * exp(-b*v) = a*dt

(primitiveren)

<=> -1/b * exp(-b*v) = a*t + Cte

(oplossen naar v)

<=> -b*v = ln(-b*(a*t+Cte))

<=> v(t) = -1/b ln(-b*(a*t+Cte))

Waarbij Cte een arbitraire constante is, te bepalen uit de beginvoorwaarde.

aah... stom. dat had ik wel moeten zien... en dan nu devolgende vraag

en deze v(t) is de afgeleide van x naar t. Kun je een ln-functie van deze aard verder integreren?

(mijn integraalkennis is niet helemaal in orde meer vrees ik)
v(t) = -1/b ln(-b*(a*t+Cte))

Voer de substitutie door :

u = -b*(a*t+C1)

<=> du = -b*a *dt

Dus : we zoeken primitieve van :

1/(a*b^2) * ln(u)

De primitieve wordt dus :

u * ln(u) - u + C2

Vul u in en voila.

Ik ken de primitieve van ln(u) vanbuiten, maar als je die niet kent, vind je hem makkelijk door partiële integratie :

int(ln(u),du) = u * ln(u) - int(u/u,du)
= u*ln(u) - u