Filosofisch leitmotiv van de 'negen'
 

Het maakt niet uit met welk getal je 9 vermenigvuldigd, het antwoord zal altijd weer 9 zijn als je de getallen bij elkaar optelt.

57x9=513 5+1+3 = 9

Met negen is de cirkel dus rond, en dat rechtvaardigd dus ook het tientallig stelsel

Ik heb hier vast nog wel ergens zo'n boekje met allerhande rekenkundige trucjes liggen.

Overigens rechtvaardigt het tientallig stelsel dan ook
het leitmotiv van de 'negen'; of volg ik 't niet helemaal?

Volgens mij rechtvaardigd het tientallig stelsel het leitmotiv van de 'negen', en niet andersom...
Met een ander stelsel is dit geintje immers niet mogelijk.

Ja dat zeg ik.. althans wilde ik impliceren. Goed zo (y)
Dankje voor je aanvulling :)

Ja, moet je de tafel van 8 eens bekijken in het 9-talligstelsel:
8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80 :p

We kunnen ook wel even bewijzen dat je in het algemeen kunt stellen dat de som van een veelvoud van (g-1) in het g-tallig stelsel een veelvoud van (g-1) is, nu ik toch nog maar twee strikte deadlines heb voor morgenochtend ;)

A) We beginnen met een triviaal geval; 1*(g-1) heeft duidelijk een som van digits gelijk aan (g-1).

B) Stel het geldt voor n*(g-1), klopt het dan automatisch voor (n+1)*(g-1)? (als dat zo is dan klopt het dus voor iedere n, want omdat het voor n=1 geldt, geldt het ook voor n=2; en omdat het voor n=3 geldt, geldt het automatisch ook voor n=4 en zo oneindig lang door)

We onderscheiden 2 gevallen:
B.1) De laatse digit is 0; er komt (g-1) voor in de plaats en de totale som blijft dus een veelvoud van (g-1)

B.2) De laatste digit is ongelijk 0; noem die d1; deze is dus ook d1 modulo g; als we daar (g-1) bij optellen krijgen we:
d1-1+g modulo g = d1-1 modulo g; we verliezen hier dus eigenlijk 1, maar er is ook een carry van 1. We onderscheiden opnieuw twee gevallen:

B.2.1) De digit ervoor is ongelijk (g-1); we tellen de carry van 1 erbij op en de som van de digits is een veelvoud van (g-1) plus 1 min 1; ofwel een veelvoud van (g-1) en het klopt alsnog.

B.2.2) De digit ervoor is gelijk aan (g-1); deze digit wordt 0; wat een verlies van (g-1) betekent (wat geen verschil maakt in het al of niet zijn van een veelvoud van (g-1) voor het hele getal) en er is opnieuw een carry van 1 waarvoor we opnieuw bekijken of B.2.1 of B.2.2 van toepassing is. Dit proces is eindig want de lengte van het getal is eindig :)

Eigenlijk lulde ik maar wat, ben blij dat het niveau hier zo hoog is dat dat wel doorzien wordt (y)

mooooopmoooop

Ik bedacht vannacht nog een simpeler bewijs:

Iedere digit i staat voor i keer een macht van g; dus ook i keer een veelvoud van g. Een macht van g heeft rest 1 bij deling door (g-1) (want g^n - 1 is (g-1)*(som van alle machten van g van 0 t/m n-1)),
dus digit i staat voor een veelvoud van (g-1) met rest i. En omdat de som van twee dingen waarvan eentje zeker een veelvoud van (g-1) is alleen een veelvoud van (g-1) kan zijn als de andere component ook een veelvoud van (g-1) is, geldt dat een getal in het g-tallig stelsel als som van digits een veelvoud van (g-1) heeft dan en slechts dan als het getal zelf een veelvoud van (g-1) is :)

Tuurlijk :p

Netjes hoor (y)

455x9=4095 -> 4+0+9+5 = 18

en 8 + 1 = 9

goed zo :D

hmmm...