Lineaire Algebra
 

Waaah.. het komt op mij nog steeds over als gegoochel met definities..

Opgave 1
Een n×n driehoeksmatrix is een matrix van de vorm

A =
( a11 a12 a13 …… a1n )
( 0---a22 a23 …… a2n )
( 0--- 0--a33 …… a3n )
( 0 … … … … …… … … )
( 0 … ………… …0 …ann )

Laat Wn de verzamelingen van alle reële driehoeksmatrices zijn.
a) Toon aan dat Wn een deelruimte is van Mn×n (R)
b) Schrijf een basis op voor W2. Wat is dim (W2)?
c) Wat is dim (Wn)?

Opgave 2
Laat zien dat de deelruimtes {0}, N(T) en R(T) T-invariant zijn, als T:V --> V een lineaire afbeelding is.


Mijn (bijna) oplossingen:

1a) Dus hier moet ik aantonen dat 0 in Wn zit en dat je kan optellen en scalair vermenigvuldigen in Wn. Nou als je W0 hebt, zit 0 er in. En met het optellen en scalair vermenigvuldigen moet ik gewoon een voorbeeldje doen daarvan? Lijkt mij een beetje simpel.

1b) W2 is de verzameling van M2×2, M1×1 en M0×0. Dus als ik een basis voor M2×2 opschrijf is het voldoende? Dat wordt dan
(1 0) (0 1) (0 0) (0 0)
(0 0), (0 0), (1 0), (0 1)
De dimensie hiervan is 4.

1c) De dimensie van Wn is dan 2n.


2) Als T:V--> V een lineaire afbeelding is, moet het de lineaire structuur bewaren. Dus T(x+y) = T(x) + T(y) en T(ax) = aT(x).

T:V --> V
Een deelruimte X c V heet T-invariant als T(X) c X

Dus.. ik zie wel het principe van wat ik moet doen, maar ik kom er niet uit!

1a) Laat V een gegeven vectorruimte zijn over een getallenlichaam K en U een deelverzameling van V en laat u₁ en u₂ elementen zijn van U en l₁ en l₂ elementen zijn van K, dan is U een deelruimte van V als l₁*u₁+l₂*u₂ een element van U is. Neem V=M_n×n(IR), U=W_n en K=IR en toon aan dat W_n aan de gestelde definitie van een delruimte voldoet en dus inderdaad een deelruimte van M_n×n(IR) is.
2) Laat V een gegeven vectorruimte zijn met X als deelruimte en T:V--> V een gegeven lineaire afbeelding van V in V, dan definiëren we:
T(X)={y element van X|y=T(x) en x element van X}. Kies nu voor X de deelruimten {0}, N(T) en R(T) en pas de definitie van T(X) toe om zo de T-invariantie van deze deelruimten aan te tonen.

aha.. bedankt! :) 1 is in ieder geval gelukt nu..

maar bij opgave 2.. moet bewerking T niet gedefinieerd zijn? In de voorbeelden in het boek staat steeds wat voor een bewerking T is, bijv. spiegeling in de x-as o.i.d. Dan zou je kunnen testen of de condities voor T-invariant opgaan. Maar nu niet lijkt me...?

Dat je niet zou kunnen nagaan of de voorwaarden voor T-invariantie opgaan omdat T niet gedefinieerd is klopt niet. Merk in dat verband op dat bij de definitie van T-invariantie alleen over de lineaire afbeelding T wordt gesproken zonder deze nader te definiëren omdat dat voor de definitie verder niet van belang is. Kijk nog maar eens naar de definitie van T(X) die ik gaf en maak tevens gebruik van de definitie van N(T) en R(T). Op die manier moet er uiit te komen zijn.
Ik zag overigens in je profiel dat je uit de buurt van mijn broers woonplaats (Emmen) komt. Wat studeer je precies als ik vragen mag?

Ik studeer natuurkunde in Groningen (1e jaars).. erg leuk alleen is de wiskunde wennen.. kzit daar op kamers maar ik kom nog wel elk weekend trouw thuis :)

hmm.. mijn vader kent geen van asseldonk uit emmen.. ik ook niet trouwens..

bedankt voor de hulp!

wéér een :( wat hebben jullie nou allemaal met natuurkunde?

Eva (die altijd slechtgehumeurd is als ze natuurkunde moet leren :s )

Het is inderdaad wennen wat wiskunde bedrijven op universitair niveau betreft, maar het kan op zich ook een uitdaging zijn als je er eenmaal aan gewend bent.

Het zou ook wel heel toevallig zijn als dat wel zo was. De naam Van Asseldonk zal in de noordelijke provincies waarschijnlijk niet voorkomen, maar in Brabant, waar ik woon, komt hij vaak voor. Overigens komt mijn broer wel vrijwel elk weekend naar mij toe (ik woon sinds 13 oktober op mezelf in het ouderlijk huis) omdat hij nog steeds lid en tevens jeugdcoach is van de badmintonclub in mijn woonplaats.

Graag gedaan. Succes met je studie.