Differentiaalvergelijking
 

De opgave luidt als volgt:

Los de differentiaalvergelijking y'''-y''+4y'-4y = 4cos(2t) op, met beginvoorwaarden y(0)=3/5, y'(0)=3/5 en y''(0)=-3/5.


Goed.. de homogene oplossingen zijn e^t, e^2it en e^-2it. Dat is het probleem niet.

Maar nu de particuliere oplossing. De tip van de hoorcollegedocent was om iets te proberen wat op het rechterlid lijkt. Zoals bv Acos(t).. Maar dat werkt niet.. Toen Acos(2t) + Bsin(2t) geprobeerd.. maar dat werkte ook niet.. Toen Atcos(2t) + Bsin(2t).. en dat werkte ook niet.. ik kan wel oneindig doorproberen, maar het lijkt mij handiger om mathematica of een ander programma om een oplossing te vragen. Alleen heb ik daar thuis niet de beschikking over..

Over de beginvoorwaarden.. de uiteindelijke oplossing wordt iets als {c1*e^t + c2*e^2it + c3*e^-2it + c4*(particuliere oplossing) | c1, c2, c3, c4 € C}. Wat doe ik nu met de beginvoorwaarden?


Differentiaalvergelijkingen zijn best leuk, maar ik kom hier niet echt uit. Het antwoord zal toch wel weer dodelijk simpel zijn.

Er hoeft geen constante factor voor je particuliere oplossing.
Dus : 3 constanten -> 3 beginvoorwaarden

Je weet in ieder geval dat geldt: y(0)=y'(0)=3/5 en y''(0)=-y(0)=-3/5. Combineer dat eens met het gegeven y=c₁*e^t + c₂*e^2*i*t + c₃*e^-2*i*t om te kijken wat dat oplevert.

Mathematica geeft als oplossing:

y[t] =1/100*(76e^t - 16*Cos[2t] - 40t*Cos[2t] + 12Sin[2t] - 20t Sin[2t])

En als algemene oplossing:
y[t] = C[1]*e^t + (-2/5*t + C[2])*Cos[2t] + (-1/5*t - C[3])*Sin[2t]