Wib1, alweer hulp met bewijzen...
 

Ik ben alweer verder, dankje Mathfreak... Maar ik loop nog steeds/weer vast bij bewijzen. Bijv bij vraag 1b. Ik weet dat een lijn die loodrecht staat op lijn l: y=mx een rico heeft van -1/m. Maar ik weet niet hoe ik dat kan bewijzen... De normaal heeft dus die rico, maar hoe kan je zoiets bewijzen?

Ook vraag 2b en c snap ik niet echt. Je moet via die link wat doen. (let op het golfje, die moet laag zijn, niet hoog). Ik kan die lijnen verplaatsen uit het plaatje en ik zie ook dat ik iets met een driehoek moet doen, maar ik weet niet hoe :confused:... Ik weet ook niet hoe ik dit moet bewijzen. Ook het verband bij vraag 2c zie ik niet :(...

Ik hoopdat iemand me kan helpen...


I Normalen

1a. Teken de lijn l: y=2a op ruitjespapier. Draai deze lijn 90 graden om de oorsprong en bepaal de richtingscoeffient (rico) van de gevonden lijn l’.
b. Teken door een willekeuring punt P op l een lijn l” die evenwijdig is aan lijn l’. Welke conclusie kun je trekken aangaande de rico’s van l enerzijds en l’ en l” anderzijds? Bewijs nu: elke lijn l’ die loodrecht staat op de lijn l: y =mx heeft rico…
Defenitie: een lijn ‘ die (in een gegeven punten) loodrecht staat op een gegeven lijn l heet een normaal van l.

II Parabolen

2a. Zoek een definitie van een parabool waarin de begrippen brandpunt en richtlijn voorkomen.
b. Bewijs dat de vergelijking van een parabool met brandpunt F (0,a) en richtlijn y=-a is:
y = x^2 / 4a (1)
Gebruik bijvoorbeeld het internetadres: http://home.planet.nl/~hklein/meetk/para6.htm.
c. Vaak wordt de vergelijking van een parabool geschreven als: y = cx^2 (2)
Bepaal het verband tussen de constante c in (2) en de constante in (1).

De rico is de tangens van de hoek die de rechte insluit met de x-as.
Noem de rico m=tan(a).
De rechte die er loodrecht op staat heeft dan een rico m'=tan(a+pi/2).
Uit de goniometrie volgt : m'=tan(a+pi/2)=-cotan(a)=-1/tan(a) = -1/m.

Het makkelijkste lijkt me om l en l' allebei door O te laten gaan. Laat S een punt op l zijn met gegeven coördinaten en laat S' het punt op l' zijn dat te vinden is door de lijn l door O en S 90° te draaien. Je kunt nu de coördinaten van S' uitdrukken in die van S. Maak nu gebruik van het feit dat de richtingscoëfficiënt van l in de coördinaten van O en S kan worden uitgedrukt en dat de richtingscoëfficiënt van l' in de coördinaten van O en S' kan worden uitgedrukt en leid zo de waarde voor de richtingscoëfficiënt van l' af. Als m de richtingscoëfficiënt van l is zal l', als je zult zien, de richtingscoëfficiënt -1/m hebben.
Als F(0,a) het brandpunt en l: y=-a de richtlijn van een gegeven parabool is en P een gegeven punt op de parabool, dan moet de afstand van l tot P gelijk zijn aan de afstand van F tot P. Kies op l een punt Q met de eigenschap FP=PQ, waarbij PQ loodrecht op FP staat en leid aan de hand van de eigenschap FP=PQ de vergelijking van de parabool af. Wat 2c betreft: stel de vergelijking van de parabool in (1) en (2) maar aan elkaar gelijk. Daaruit volgt het verband tussen a en c.
@pol: Hier in Nederland wordt de cotangens niet behandeld in het middelbaar onderwijs, vandaar dat ik voor het bewijs uit ben gegaan van de symmetrie-eigenschappen bij een rotatie en de definitie van de richtingscoëfficiënt van een lijn aan de hand van 2 punten op die lijn.