differentiaalvergelijkingen
 

x' = 3tx met x(0) = x0
Vragen:
a. Is deze differentiaalvergelijking autonoom (wat is autonoom)?
b. Is deze differentiaalvergelijking lineair (wat is lineair)?
c. Is deze differentiaalvergelijking homogeen (wat is homogeen)?
d. Bereken de oplossing x met x(0)=x0.
e. Toon aan dat deze oplossing eenduidig is (Aanwijzing: als u een andere oplossing is met u(0) = x0, beschouw dan u(t)*x(t)^(-1) en differenteer deze uitdrukking.

a. De differentiaalvergelijking (d.v.) x'(t)=f(x(t)) heet autonoom of stationair als de variabele t niet in de d.v. voorkomt. Aangezien dat bij deze d.v. wel zo is, is deze d.v. niet autonoom.
b. Laat x⁽ⁿ⁾(t) de n-de afgeleide van x naar t zijn en laat f₀(t), f₁(t),...,
f_n-1(t) en g(t) gegeven functies van t zijn, dan noemen we de d.v.
x⁽ⁿ⁾(t)+f_n-1(t)*x^(n-1)(t)+...+f₁(t)*x'(t)+f₀(t)*x(t)=g(t) een lineaire d.v. van de n-de orde. Voor g(t)=0 spreken we van een homogene lineaire d.v. van de n-de orde, en anders van een inhomogene lineaire d.v. van de n-de orde met stoorfunctie g(t). Voor de genoemde d.v. geldt:
n=1, f₁(t)=1, f₀(t)=-3*t en g(t)=0, dus de d.v. is lineair, en wel een homogene lineaire d.v. van de eerste orde.
c. Een d.v. is homogeen als deze de vorm x'(t)=f(x/t) heeft en is dus iets anders dan de zojuist vermelde homogene lineaire d.v. De hier genoemde d.v. is dus niet homogeen.
d. Schrijf de d.v. x'=3*t*x als dx/dt=3*t*x. Pas nu scheiding van variabelen toe door dit te herschrijven als dx/x=3*t*dt. Integreren van het linker- en het rechterlid geeft dan: ln(x)=1 1/2*t²+c. Stel c=ln(a), dan geeft dit: x(t)=a*e^{1 1/2*t2}. Invullen van x(0)=x₀ geeft dan: x(0)=x₀=a, dus de oplossing van de d.v.luidt: x(t)=x₀*e^{1 1/2*t2}.
e. Laat u eveneens een oplossing van de gegeven d.v. zijn, dan geldt: u'=3*t*u en u(0)=x₀. Beschouw nu u(t)*x(t)^-1. Differentiëren hiervan geeft: u'(t)*x(t)^-1-u(t)*x(t)^-2*x'(t)=x(t)^-1(u'(t)-u(t)*x(t)^-1*x'(t))
=x(t)^-1(3*t*u(t)-u(t)*x(t)^-1*3*t*x(t))=x(t)^-1(3*t*u(t)-3*t*u(t))
=x(t)^-1*0=0. Er geldt dus: u'(t)-u(t)*x(t)^-1*x'(t)=0,
dus u'(t)=u(t)*x(t)^-1*3*t*x(t)=u(t)*3*t, dus u=x, waarmee de eenduidigheid van de oplossing is bewezen.
Kijk voor meer informatie over diferentiaalvergelijkingen maar eens op http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html
Gezien je vragen neem ik aan dat je zelf al een v.w.o.-opleiding achter de rug hebt en nu met een vervolgstudie bezig bent. Wat studeer je precies als ik vragen mag?