idempotente matrices
 

kan iemand me helpen?
ik weet niet hoe ik eraan moet beginnen

als A² = A, dan noemen we A een idempotente matrix

bewijs:
als A x B = A én B x A = B dan zijn A en B idempotent.


kan iemand me helpen? :s

of te wel,
als
a x b = a

b x a = b

staat er eigenlijk

a x b = a

a x b = b

dus a is gelijk aan b. je mag nu overal a voor b vervangen en andersom. volgt
b x b = b

a x a = a

uhm, nee dat mag niet :s (alleen in enkele uitzonderingen)

want het zijn matrices, dus dat is niet commutatief :s

Gegeven:
AB = A (1)
BA = B (2)

Substitueer "B" in vergelijking (1) door vergelijking (2)

A(BA) = A
(AB)A = A (matrices zijn associatief)
A² = A (maak gebruik van: AB = A)

Dus A is idempotent.
Op zelfde wijze geldt:
B(AB) = B
(BA)B = B
B² = B

proefkonijn, ik volg je uitleg. Maar waarom is mijn oplossing fout?

Je veronderstelt dat AxB=BxA, wat over het algemeen niet juist is, aangezien matrixvermenigvuldiging in tegenstelling tot de gewone vermenigvuldiging niet commutatief is. A en B zijn dus niet gelijk aan elkaar, zoals je ten onrechte veronderstelt. Het enige wat je kunt zeggen is dat AxBxA^-1=BxAxB^-1=I, waarbij A^-1 de inverse matrix van A is, B^-1 de inverse matrix van B is en I de eenheidsmatrix voorstelt.

héél erg bedankt

als ik zie staan hoe het moet is het zo simpel (ik haat bewijzen :()