inhoud en oppervlakte bol
 

Toon met behulp van integralen aan dat de inhoud van een bol (4/3)*pi*r³ is.
Laat met behulp van de formule van de inhoud van een bol zien dat de oppervlakte van een bol te bereken is met 4*pi*r²

ik zie dat [(4/3)*pi*r³]' = 4*pi*r², maar waarom is dat zo?

heb de formule onderhand al gevonden: r² = y² + x²
dus y = SQRT(r²-x²)

maar dan??

Beschouw het vlakdeel, begrensd door de grafiek van deze functie, de X-as en de lijnen x=0 en x=r. Wentel dit vlakdeel om de X-as en bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat je dan krijgt. Je vindt dan de inhoud van een halve bol, dus vermenigvuldigen met 2 levert dan de inhoud van de gehele bol op.

dan krijg je dus

integraal 0 -> r pi(r²-x²)dx
F(x) is pi*x*r² - (1/3)*pi*x³
f(r) - F(0) = pi*r*r²- (1/3)*pi*r³ =
(2/3)*pi*r³ voor een halve cirkel

ok bedankt :)

maar nu die vraag over oppervlakte nog

Ga uit van dezelfde integratiegrenzen en dezelfde functie f: x->sqrt(r²-x²) en bepaal de integraal van 2*pi*f(x)*sqrt[1+(f'(x))²]. Dit geeft de oppervlakte van het desbetreffende omwentelingslichaam. Omdat dit omwentelingslichaam een halve bol voorstelt kun je aan de hand daarvan de oppervlakte van de gehele bol berekenen.