raaklijn door O
 

Gegeven de functie f(x)=(2+2lnx)/x

De lijn k gaat door O en raakt de grafiek van f in het punt B. Stel een vergelijking op van k en bereken de coördinaten van B.

Hoe doe ik dit?

Hallo b,

doorloop de volgende stappen:

1. vergelijking lijn y = a *x (b = 0)
2. a = stijging lijn = stijging kromme in B. Dus zoek y'
3. stel y(lijn) = y(kromme). je vindt de x voor B
4. bereken de y voor B

Gebruik eventueel de volgende toolkit...
http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/toolkit.html
... voor het vinden van y'

Of stel: (delta y/delta x) = afgeleide

uit de functie (f(x)=(2+2lnx)/x) zie je dat de lijn die je zoekt stijgend moet zijn met het raakpunt rechts van de oorsprong (ook logisch, want ln bestaan niet voor x kleiner/gelijk aan 0)
dus:
delta y= de functie zelf
delta x= x (wat dus ook punt B is)
afgeleide= -2lnx/x^2 (als ik het nog moet uitwerken dan moet je maar even vragen;))
-> (2+2lnx)/x/x = -2lnx/x^2
-> (2+2lnx)/x^2 = -2lnx/x^2
-> 2 + 2lnx = -2lnx
-> 4lnx = -0.5
x = e^-0.5 = 0.60653...

vergelijking raaklijn: y=ax + b (b is 0 want lijn gaat door oorsprong)
-> y = 2.71x
(-0.5 invullen in afgeleide)

raakpunt = (2.71;1,65)

Pas voor het differentiëren van f de quotiëntregel toe. Dit geeft:
f'(x)=(x*2/x-2-2*ln(x))/x²=-2*ln(x)/x². Omdat de lijn k door O gaat heeft deze de vergelijking y=a*x. Er is gegeven dat B(x_B,y_B) een raakpunt van k aan de grafiek van f is. Dit geeft: a=f'(x_B)=-2*ln(x_B)/x_B² en
y_B=(2+2*ln(x_B)/x_B=a*x_B=-2*ln(x_B)/x_B, dus 2+2*ln(x_B)=-2*ln(x_B),
dus 4*ln(x_B)=-2, dus ln(x_B)=-1/2, dus x_B=e^-1/2 en y_B=e^1/2, dus B is het punt (e^-1/2,e^1/2). Voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn vinden we: a=e, dus k heeft de vergelijking y=e*x.