Vat water waar water uitstroomt
 

In een vat zit 100 liter water. Bij kantelen van het vat stroomt de inhoud weg. Hierbij hoort de formule V = 100 * e^-0.01t². Hierin is V de resterende hoeveelheid in het vat in liter en t de tijd in minuten.

a) Bereken voor welke t de uitstroomsnelheid maximaal is.
b) hoeveel seconden na het in a genoemde tijdstip is de uitstroomsnelheid afgenomen tot de helft van de maximale uitstroomsnelheid?

a) heb ik al, dit is wortel(50)
dV/dt = -2t*e^-0.01t²
d/dt(dV/dt) = (0.04t² - 2)e^-0.01t²

b heb ik met de rekenmachine opgelost, dit gaf 391s, maar hoe doe ik dit algebraïsch?

Voor t=sqrt(50) is de uitstroomsnelheid maximaal met een waarde van 100*e^-1/2. Los nu op: 100*e^-0,01*t²=50*e^-1/2. Dit geeft: e^-0,01*t²=1/2*e^-1/2, dus -0,01*t²=-1/2-ln(2), dus t²=50+50*ln(2), dus t=sqrt(50+50*ln(2)), wat een tijdsverschil van sqrt(50+50*ln(2))-sqrt(50) minuten geeft. Vermenigvuldig dit tijdsverschil met 60 en je vindt het gevraagde tijdsverschil in seconden, namelijk
60*sqrt(50)(sqrt(1+ln(2)-1) s=127,8 s.

Los je nu niet op op welke tijdstip de inhoud van het vat de helft is van de inhoud van het vat op het punt waar de uitstroomsnelheid maximaal maximaal is?

Dat is in feite de eerste stap. Er wordt gevraagd hoe lang het na het bereiken van de maximale uitstroomsnelheid duurt voordat de uitstroomsnelheid tot de helft daarvan is afgenomen. Je weet wanneer de uitstroomsnelheid maximaal is, en als je dit aftrekt van het tijdstip waarop de uitstroomsnelheid de helft van de maximale uitstroomsnelheid is weet je hoe lang het na het bereiken van de maximale uitstroomsnelheid duurt voordat de uitstroomsnelheid tot de helft daarvan is afgenomen.

ja, dat snap ik.
Maar jij gebruikt de formule voor de resterende hoeveelheid water in het vat en niet de formule van de uitstroomsnelheid.

Je hebt gelijk. Ik ben van de verkeerde formule uitgegaan. Laten we eens kijken wat we krijgen als we uitgaan van u=dV/dt=-2t*e^-0.01*t². Voor t=sqrt(50) krijgen we: u=-100*e^-1/2. Dat betekent dat we op moeten lossen: -2t*e^-0.01*t²=-50*e^-1/2, dus t*e^-0.01*t²=25*e^-1/2. Hier is helaas geen algebraïsche methode voor. Je zult dus gebruik moeten maken van een grafische rekenmachine, aangezien deze standaard een numerieke benaderingsmethode bevat om deze vergelijking op te lossen.

hallo wi,

Laat een plotter...
2*t*exp(-0.01*t^2) - sqrt(50)*exp(-0.5)
tekenen en via een iteratieve methode de nul-waarde zoeken.

De plotter euler.exe op...
http://home.hetnet.nl/~alchemilab/
... vindt t = 13.5879258

Nu nog het verschil.