Complexe getallen
 

Een vraagje. Op school hebben we de complexe e macht gehad. Ik snap wat je er mee kan doen. Maar hoe het toepassen is weer net een andere vraag. Een voorbeeld is het oplossen van:

z^3=1
Eerste antwoord is natuurlijk 1
Maar er zijn meer antwoorden te vinden in de complexe getallen.
Als ik het blaadje volgt gaan ze als volgt te werk:
z^3 schrijven ze als r^3e^3Ifi
en 1 schrijven ze als 1e^0I
Dus je krijgt dan de vergelijking r^3e^3Ifi =1e^0I
Als eerste wil ik graag weten hoe ze hier aan komen. Dat snap ik niet helemaal. Ze hebben het namelijk over poolvoorstellingen, maar hoe moet ik dat dit dit verband zien dan??. Ik snap dat je een poolvoorstelling kan maken van bijvoorbeeld 3+5I. Maar zoals het hier staat lukt mijn dat niet. Een poolvoorstelling heeft naar mijn idee een lengte en een hoek. Althans zo ken ik hem En als ik z^4 heb is dat dan r^4e^4Ifi??. Dan gaan ze verder. Ze conculderen dat r^1=1 dus r=1 dat snap ik. En ook dat fi=K(2/3Pi)I. En dan zeggen ze zk=1e^K(2/3Pi)I. Nou ja dat schrijven ze dus uit en zeggen dan dat zk+3=zk. Eigelijk dus dat ze een rondje zijn gegaan. Immers bij k=3 heb je een rondje doorlopen. Maar als je Z^4 heb hou je dus 1/4 pi nog wat over moet je dan voor k ook alleen 0,1,en -1 nemen of zijn dat dan ook andere getallen?? Immers in dit voorbeeld nemen ze k=1 k=-1 k=0.

Het gaat er dus vooral om hoe ze aan deze voorstelling komen en hoe je hem moet interpeteren. En hoe ze aan de waarde van k komen.

Hoop dat het een beetje duidelijk is.

Alvast bedankt (y)

dit was een tentamenvrag bij wiskunde 1 technische informatica...ik kwam er toen niet uit en raad eens....nu weer niet! Ik zal eens kijken of ik de uitwerking nog kan vinden ;) want ik heb het wel gevraagd voor de herkansing (die ik overigens wel gehaald had :p)

Volgens de formule van Euler geldt: e^i*x=cos(x)+i*sin(x). Laat z=a+b*i een gegeven complex getal zijn, dan definiëren we de absolute waarde van z als |z|=r=sqrt(a²+b²) en het argument van z als arg(z)=fi met tan(fi)=b/a. We kunnen nu schrijven: z=a+b*i=r(cos(fi)+i*sin(fi))=r*e^i*fi.
Laat n een natuurlijk getal zijn, dan geldt: zⁿ=(r*e^i*fi)ⁿ=rⁿ*(e^i*fi)ⁿ=rⁿ*e^i*n*fi. Er geldt dus: |zⁿ|=|z|ⁿ en arg(zⁿ)=n*arg(z).
Zoals je weet geldt: sin(x+2*k*pi)=sin(x) en cos(x+2*k*pi)=cos(x) met k een geheel getal. We kunnen dus stellen: e^i(x+2*k*pi)=e^i*x als k een geheel getal is. Dit idee kunnen we toepassen om de n oplossingen van de vergelijking zⁿ=w te vinden. Stel z=r*e^i(fi) en w=r'*e^{i*(fi'+2*k*pi)} met k=0 t/m n-1, dan geldt: zⁿ=rⁿ*e^i*n*fi=r'*e^{i*(fi'+2*k*pi)}, dus rⁿ=r' en n*fi=fi'+2*k*pi, dus z=r'^1/n*e^{i(fi'+2*k*pi)/n}. Voor k=0 t/m n-1 vinden we dan de oplossingen z₁ t/m z_n van de vergelijking zⁿ=w. Voor w=1=e^i*2*k*pi en n=3 vind je zo dus de 3 oplossingen van de vergelijking z³=1. Uit z=e^i*2*k*pi/3 vind je dan voor k=0 t/m 2 de oplossingen z₁=1, z₂=e^2/3*pi*i=cos(2/3*pi)+i*sin(2/3*pi)=-1/2+1/2*i*sqrt(3) en
z₃=e^{1 1/3*pi*i}=cos(1 1/3*pi)+i*sin(1 1/3*pi)=-1/2-1/2*i*sqrt(3).