vraagje.
 

Ik heb de forumle
h(x)= x sin(1/x) voor x ongelijk aan 0, en h(0)=0
Nu moet ik benederen dat h in 0 continu is. De engie manier waaraan ik dacht is dat ik de limiet van zowel rechts als links laat komen en zodoene bewijs dat die beide 0 zijn. En dus is h continu. Maar de volgende vraag is gelijk of die in h differenteer baar is in o. Maar hoe bewijs je dat?? Als het zo is. Ik weet wel hoe je dat zou kunnen bewijzen wanneer je twee variabelen heb, maar eentje niet. :(

de linker en rechterlimiet van de afgeleiden naar 0 toe oplossen?

Ik weet het niet zeker, anders moet je de benadering van de afgeleide in dat punt doen...

f'(a) = [f(a) + f (a+h)]/h

met h<<1

bij de vraag of de functie continu is:
substitueer: p = 1/x <=> 1/p = x

zodat je de limiet: p->oneindig sin(p)/p = 0 krijgt

deze functie is niet differentieerbaar in 0, waarom? moet je zelf maar proberen uit te vinden ;)

De formule die je nodig heb om te zeggen of die wel of niet differnteerbaar is heb ik nu. Dat is dus een limiet functie, waarbij de limiet dus 0 moet zijn, als die dif is. Maar moet ik deze invullen voor h(0,0) of gewoon h(x)= x sin(1/x) voor punt 0? Dat weet ik dus niet. Als ik die van 0 moet invullen dan is het inderdaad niet differenteer baar in 0. De formulke waar ik het over heb is:

f(x)-f(a)-f"(a)(x-x0) /(x-x(o)) en daarvan de limiet nemen tot aan 0 in dit geval. En er moet dan 0 uitkomen als die differenteerbaar is.

Ik snap [ Dvalin ] wat je doet met die limiet, maar ik snap niet waarom je nu heb bewezen dat die bestaat. Eigelijk doe je hetzelfde als mijn alleen ik neem dan gelijk de limiet van sin(1/x), wat jij in dit geval in 2 stappen doet. Maar klopt mijn redeniring?/

lim p-> oneindig sin(p) / p = 0 is denk ik een vorm van een standaardlimiet, immers:

lim x-> oneindig a/x = 0, voor a is een reëel getal (dit is een echte standaardlimiet)

sin(p) zal altijd tussen -1 en 1 liggen, dus krijg je oneindig veel vormen van de standaardlimiet met a is een element van de gesloten verzameling -1 tot 1 (op de reële getallen)


---------

en de differentieerbaarheid:

h'(x) = sin(1/x) + x * cos(1/x) * (-1/x²) = sin(1/x) - cos(1/x) / x

stel 1/x = p

dan h'(p) = sin(p) - p * cos(p)

voor p = Pi/2 (mod 2*Pi) : h'(p) = 1
voor p = -Pi/2 (mod 2*Pi) : h'(p) = -1


hieruit volgt:

voor elk getal a; 0 < a, is er altijd een b te vinden, zdd. 0 < b < a
waarbij het teken van de helling in b tegensteld is aan het teken van de helling in a

(evenzo voor a,b als geldt: a < b < 0)


conclusie: h(x) is niet differentieerbaar in 0

Dat vind ik knap van je, als je de limiet van sin(1/x) kent, want volgens mij bestaat die niet:

stel lim sin(1/x)=p

vul in: x=1/(n*pi) --> lim sin(n*pi) = lim (0) = p, p=0
vul in x=1/((2n+1/2)*pi) --> lim sin((2n+1/2)*pi) = lim 1 =p, dus p=1
tegenspraak, dus lim sin(1/x) is niet p --> deze functie heeft geen limiet

Dat klopt, maar in deze combinatie, dus met die x er voor, kan het weer wel. Eerst nemen we de limiet van 1/x van de linker of van de rechterkant. Een van die twee. daaruit komt dus - oneinding of + oneindig. laten we voor het gemak maar + oneindig nemen. Dan vullen we dat in voor de limiet sinx die naar + oneidig gaat. Daar uit komt een verzameling namelijk tussen -1 tot 1 Limiet van x die naar 0 gaat is natuurlijk 0. De verzameling van -1 tot 1 * 0 zorgt er voor dat alles 0 word. Dus de hele limiet word dus 0. Ik had er even een x je moeten neerzetten voor de duidelijkheid ;)

studeer je in Leiden jbtq ?

nee, ik studeer in de hele mooi stad Utrecht. Ik doe nu aardwetenschappen en de wiskunde doe ik dan weer samen met de wiskundige/ sterrenkudige