middelwaarde stelling
 

Hi all,

Ik moet via de middelwaarde stelling bewijzen dat (e^x)-1 < e*x

voor 0 < x < 1

goed... ik heb dus geen idee...

Alvast bedankt,

Kun je even mn geheugen opfrissen door te posten hoe de middelwaardestelling gaat? :o

De middelwaardestelling luidt als volgt: laat f een continue functie zijn op [a,b], dan is er een c met a<c<b waarvoor geldt: f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

f(x) = (e^x)-1
g(x) = ex
a=1
b=0

Middelwaardestelling op f(x):
(f(x) is continu op [0,1])

er is een c met 0<c<1 waarvoor geldt:

e^c= ((e-1)-0)/1 = e-1 (1)

Middelwaardestelling op g(x):
(g(x) is continu op [0,1])

er is een c met 0<c<1 waarvoor geldt:

c = (e-0)/1 = e (2)

uit (2) volgt: c = e
uit (1) volgt: c = ln(e-1)

dit betekent dat de rc van g(x) op [0,1] gelijk is aan e
volgens de middelwaardestelling is de rc van f(x) in ln(e-1) gelijk aan e-1.
dit is kleiner dan e dus stijgt f(x) minder hard dus ligt f(x) onder g(x)
Overigens, het maximum van f(x) op [0,1] is e-1 en van g(x) is die e

de middelwaardestelling:

stel je loopt tussen 2 vrienden door de stad

indien zij een kroeg induiken, kun jij er niet meer tussen uit en moet je ook de kroeg in

dat is de praktisch-sociale variant :D