aantal vragen over logaritmen en exponenten
 

De volgende opgaven moet ik kunnen voor mn SE toets wiskunde van morgen maar ik snap ze niet, kan iemand deze voor me uitwerken?

1. Los op (algebraisch):

(2e^x) / x(2x+3) = 2e^x(2x+1) / (2x+3)^2

2. a) ln x = 2
b) ln x = -1
c) 4 ln x = 2
d) ln 3x = 3
e) ln(-x+2) = -2
f) ln^2 x = 1/4
g) ln x = 1 + ln 5
h) ln x = 3 - ln 4
i) ln (x+3) - ln (x-1) = ln 2

Ik snap totaal niet hoe je zoiets moet oplossen dus ik ben ook allang blij als iemand me kan vertellen hoe je dat moet doen. Als er een paar uitgewerkt worden vind ik het allang prima!

3. Gegeven is de functie f(x) = x / ln x
a) bereken welke waarden f (x) aanneemt voor x > 1.

Dit heb ik uitgerekend met de GR maar hoe het algebraisch moet weet ik niet.

b) Stel een vergelijking op van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A met xa is 1 / e

Hierbij had ik zelf al de afgeleide uitgerekend, die is volgens mij: (ln x - 1) / (ln^2 x). Dan had ik 1/e ingevuld in de formule van de afgeleide, daar kreeg ik -2 uit. Dan krijg je: y = -2x + b
maar dan lukte het niet om b uit te rekenen.

c) Er zijn twee raaklijnen van de grafiek van f met richtingscoefficient -6. Stel van elke raaklijn een vergelijking op.

Ik had gesteld: de formule van de afgeleide is -6, daar kreeg ik uit x = 1/2 e maar die andere waarde lukte me niet.

d) De grafiek van f snijdt van de lijn y = q een lijnstuk af met lengte 10. Bereken q in twee decimalen nauwkeurig.


Alvast heel erg bedankt!!!!!!

ik doe er een paar om het ff uit te leggen. let je nooit op op school? :nono: :p
ln x = 2 wil zeggen x = e^2.
ln x = -1 wil zeggen x = e^(-1) = 1/e.
4 ln x = 2 wil zeggen x = e^(2 / 4).
ln 3x = 3 wil zeggen x = (e^3) / 3.

snap? :) de rest heb ik geen zin in :o

ln x is gewoon de logaritme van x met grondtal e, dus... ^elog x . Zoals je denk ik al weet is bijvoorbeeld bij ²log x = 6, x = 2⁶. Dit zelfde geldt dan ook voor ln. Dus zoiets als: ln x = -2 is te schrijven als ^elog x = -2 en dus x = e^-2.

Weet je zeker dat je dat algebraisch moet oplossen?? Ik zou namelijk niet weten hoe het algebraisch kan...

Nou tegenwoordig met die 2e fase hoeft dat niet, je moet (bijna) alles toch zelfstandig doen.

AANNAME:
2e^x(2x+1) = (2x+1)*2e^x
EN DUS NIET
2e^x(2x+1) = 2e^(2x^2+2)

dat was onduidelijk


(2e^x) / x(2x+3) = 2e^x(2x+1) / (2x+3)^2
= {Beide kanten vermenigvuldigen met de deling}
(2e^x) * (2x+3)^2 = x(2x+3) * 2e^x(2x+1)
= { uitwerken van de maaltekens en kwadraat }
2e^x * (4x^2 +12x+9) = (2x^2+3x)*(2x+1)*2e^x
= { beide kanten delen door 2e^x en rechts ff vermenigvuldigen uitwerken}
4x^2 + 12x + 9 = 4x^3+2x^2 + 6x^2 + 3x
= { vereenvoudigen }
4x^2 + 12x + 9 = 4x^3 + 8x^2 + 3x
= { vereenvoudigen }
9x + 9 = 4x^3 + 4x^2

dit kun je vast zelf wel :)


onder voorbehoud, is een tijd geleden dat ik zo wiskunde heb gedaan, maar he tlijkt goed volgens mij :)

Ja, tot hier zou ik het ook wel kunnen, maar... hoe gaat het nou verder??

Maak gebruik van de regel a*b=a*c <=> a=0 of b=c. In dit geval geldt: a=2*e^x, b=1/x(2*x+3) en c=(2*x+1)/(2*x+3)², dus 2*e^x=0 of 1/x(2*x+3)=(2*x+1)/(2*x+3)². 2*e^x=0 heeft geen oplossing, dus moet gelden:
1/x(2*x+3)=(2*x+1)/(2*x+3)², dus (2*x+3)²=x(2*x+3)(2*x+1), dus 2*x+3=0 of 2*x+3=x(2*x+1), dus x=-1 1/2 of 2*x+3=2*x²+x, dus x=-1 1/2 of 2*x²-x-3=0, dus x=-1 1/2 of x=(1-sqrt(25))/4=(1-5)/4=-4/4
=-1 of x=(1+sqrt(25))/4=(1+5)/4=6/4=-1 1/2, dus x=-1 1/2 of x=-1. De oplossing x=-1 1/2 voldoet echter niet aan de vergelijking 2*e^x/x(2*x+3)=2*e^x(2*x+3)² omdat er voor x=-1 1/2 door nul wordt gedeeld, wat niet is toegestaan.

Opgave a en b zijn op te lossen met de eigenschap x=ln(y) <=> y=e^x, dus ln(x)=2 geeft: x=e² en ln(x)=-1 geeft: x=e^-1
c) Deel beide leden door 4. Dit geeft: ln(x)=2/4=1/2, dus x=e^1/2.
d) ln(3*x)=3 <=> 3*x=e³, dus x=1/3*e³
e) ln(-x+2)=-2 <=> -x+2=e^-2, dus -x=-2+e^-2, dus x=2-e^-2
f) ln²(x)=1/4 geeft: ln(x)=1/2 of ln(x)=-1/2, dus x=e^1/2 of x=e^-1/2
g) ln(x)=1+ln(5) <=> ln(x)=ln(e)+ln(5)=ln(5*e), dus x=5*e
h) ln(x)=3-ln(4) <=> ln(x)=ln(e³)-ln(4)=ln(e³/4), dus x=e³/4=1/4*e³
i) Tel links en rechts ln(x-1) op. Dit geeft: ln(x+3)=ln(2)+ln(x-1)=ln(2(x-1))=ln(2*x-2). Er geldt: ln(a)=ln(b) <=> a=b,
dus je krijgt: x+3=2*x-2, dus -x=-5, dus x=5.

Maak gebruik van de afgeleide van f. Dit geeft: f'(x)=(ln(x)-1)/ln²(x). Voor x=e treedt een minimum e op. dus voor x>1 geldt: f(x) groter of gelijk aan e.
Er is gegeven: x_A=1/e, dus y_A=1/e/ln(1/e)=-1/e. Invullen van x_A en y_A in y=-2*x+b geeft dan: -1/e=-2/e+b, dus b=-1/e+2/e=1/e. De raaklijn heeft dus de vergelijking y=-2*x+1/e.

f'(x)=(ln(x)-1)/ln²(x)=-6, dus -6*ln²(x)=ln(x)-1, dus 6*ln²(x)+ln(x)-1=0. Stel ln(x)=p, dan geldt: 6*p²+p-1=0, dus p=(-1-sqrt(25))/12=(-1-5)/12
=-6/12=-1/2 of p=(-1+sqrt(25))/12=(-1+5)/12=4/12=1/3, dus x=e^-1/2 of x=e^1/3. Invullen van deze waarden van x in f geeft de bijbehorende y-waarde f(x). Er geldt dat de raaklijn de vergelijking y=-6*x+b heeft, dus invullen van x en de bijbehorende y in de vergelijking geeft de bijbehorende waarde van b, waarmee de vergelijking van de raaklijn is gevonden.

Veronderstel dat de lijn y=q de grafiek van f snijdt in A(x_A,q)=(x_A,x_A/ln(x_A)) en B(x_B,q)=(x_B,x_B/ln(x_B)). Er geldt dan: |x_A-x_B|=10 en x_A/ln(x_A)=x_B/ln(x_B). Uit de eerste vergelijking volgt: x_A-x_B=10 of x_A-x_B=-10, dus x_A=x_B+10 of x_A=x_B-10. Vul dit in in de vergelijking x_A/ln(x_A)=x_B/ln(x_B) en los dit op met behulp van je grafische rekenmachine.

9(x+1) = 4x^2(x+1)
= { beide kanten door x+1 delen }
9 = 4x^2

x = 1,5
of x = -1,5


je moet wel ff op uitzonderingen letten.

Voor x=-1 krijg je bij deling door x+1 een deling door nul, wat niet is toegestaan. Je moet gebruik maken van de regel a*b=a*c <=> a=0 of b=c met a=x+1, b=9 en c=4*x². Dit geeft: x+1=0 of 9=4*x², dus x=-1 of x²=9/4, dus x=-1 of x=-3/2=-1 1/2 of x=3/2=1 1/2.

Ik twijfel sterk aan het woord 'moet'. Dat -1 niet mag, kun je vast wel ergens anders uit krijgen :)

Maar als ik nu even kijk...iets wazigs :S

(2e^x) / x(2x+3) = 2e^x(2x+1) / (2x+3)^2

vul voor x = -1,5 in:

iets / x(-3+3) = ietsanders / ( -3+3)^2

oftewel delen door 0 in de oorspronkelijke formule. Das toch neit toegestaan?

Ja, zo ben je dan ook wel weer... :D

Lees je vorige reply in dat verband nog eens aandachtig door. Je stelt daar 9(x+1)=4*x²((x+1). Vervolgens geef je aan dat je beide leden door x+1 deelt, maar je ziet daarbij over het hoofd dat de deling door x+1 voor x=-1 niet mogelijk is omdat x+1 in dat geval nul is. Je kunt wel het volgende doen: herleid de vergelijking op nul, dan krijg je:
9(x+1)-4*x²((x+1)=(x+1)(9-4*x²)=0, dus x+1=0 of 9-4*x²=0, dus x+1=0 of 4*x²=9. De overige stappen ken je al.

Laten we eens kijken wat we krijgen als we beide leden delen door 2*e^x. Dit is toegestaan omdat e^x voor alle x positief is. Dit geeft:
1/x(2*x+3)=(2*x+1)/(2*x+3)², dus (2*x+3)²=x(2*x+3)(2*x+1). Er geldt nu: 2*x+3=0 of 2*x+3=x(2*x+1)=2*x²+x, dus 2*x+3=0 of 2*x²-x-3=0. Uit 2*x+3=0 volgt: x=-1 1/2 en uit 2*x²-x-3=0 volgt: x=-1 1/2 of x=-1, maar x=-1 1/2 moet als oplossing inderdaad vervallen omdat je dan door nul deelt. Ik heb dat er inmiddels in mijn vorige reply bijgezet.

:p

Citaat:

Lees je vorige reply in dat verband nog eens aandachtig door. Je stelt daar 9(x+1)=4*x2((x+1). Vervolgens geef je aan dat je beide leden door x+1 deelt, maar je ziet daarbij over het hoofd dat de deling door x+1 voor x=-1 niet mogelijk is omdat x+1 in dat geval nul is. Je kunt wel het volgende doen: herleid de vergelijking op nul, dan krijg je: 9(x+1)-4*x2((x+1)=(x+1)(9-4*x2)=0, dus x+1=0 of 9-4*x2=0, dus x+1=0 of 4*x2=9. De overige stappen ken je al.

Dan mag je voor x=-1 toch gewoon gevalsonderscheid neerzetten? Ik geloof dat wij dat wel mochten...
Beetje stom trouwens, als je dat niet mag. Los je het netjes (toch?) algebraisch op en dan is het nog niet goed :p

Citaat:

Ik heb dat er inmiddels in mijn vorige reply bijgezet.

sorry overheen gelezen.

Als je het oplost op jouw manier, dus volgens de implicatie
a*b=a*c => b=c, mis je de mogelijkheid dat a nul kan zijn, met het risico dat je links en rechts ongemerkt door nul deelt. In plaats daarvan dien je a*b=a*c op nul te herleiden. Dit geeft: a*b-a*c=a(b-c)=0,
dus a=0 of b-c=0, dus a=0 of b=c. In dit geval heb je te maken met de equivalentie a*b=a*c <=> a=0 of b=c, en het is deze equivalentie waarvan je bij het oplossen van de vergelijking a*b=a*c gebruik dient te maken.

nou vooruit ik geef je gelijk, al vind ik het tamelijke slechte vraagstelling, als je het goed oplost, dat het dan nog fout kan zijn :S

mijn manier was namelijk ook algebraisch en volgens alle geldige rekenregels, maarja....

Als je het goed oplost is het ook niet fout. De enige fout die jij maakte was dat je uit a*b=a*c concludeerde dat daarom moest gelden: b=c, maar zoals ik al aangaf is die conclusie niet juist, tenzij je met natuurlijke getallen (dus positieve gehele getallen) werkt. In dat geval is er zelfs sprake van een equivalentie.

Correctie: volgens bijna alle geldige rekenregels, aangezien je de regel a*b=a*c <=> a=0 of b=c blijkbaar over het hoofd hebt gezien. Bovendien gaat a*b=a*c <=> b=c alleen op voor natuurlijke getallen zoals ik al opmerkte.

ok toch overtuigd (en dat niet eens om ervan af te zijn ;))

Mooi zo:). Overigens ben ik zeer benieuwd hoe Daantje_0705 het er bij haar wiskundetoets van af heeft gebracht.

Ik heb Fade of Light een PM verstuurd maar ik zal het hier ook nog wel even melden.

Behalve over exponenten en logaritmen ging de toets ook over correlatie en regressie en kansrekening. Het stuk over C&R heb ik denk ik een beetje onderschat, had andere dingen verwacht enzo dus dat ging niet zo lekker. De opdrachten over exponenten en logaritmen gingen vrij goed (de vergelijkingen kon ik allemaal oplossen, met de raaklijnen heb ik een beetje zitten stoeien), kansrekening ging wel heel goed volgens mij. Al met al was ik niet zo heel tevreden, t was een twijfelgeval. Ik was ook heel erg zenuwachtig (ben drie keer naar de wc geweest van de voren, was vergeten te eten en had dus heel erg honger en trilde heel erg). Het ging iig slechter dan mn vorige SE maar daar had ik dan ook een 8.5 voor :D (meetkunde en differentieren). Ik ben vandaag mn cijfer wezen vragen en ik had een 6.6!!!!!!! Ben opzich er wel blij mee, had verwacht dat ik rond de 7 zou hebben dus dat klopt aardig. Morgen gaan we het bespreken, ben benieuwd.

IIg ontzettend bedankt voor jullie hulp (al kon ik het niet altijd even goed volgen :o maar waarschijnlijk vinden jullie dit soort dingen wel leuk om op te lossen) :)

:cool: (y)

Hij had jouw reactie inmiddels ook al via een PM naar mij gestuurd. Ik heb het zojuist gelezen.

Gefeliciteerd met het resultaat. :)

Graag gedaan. :)

Ach, het is in feite mijn vak.