lin alg
 

Een vraagje. Any two bases in a finite dimensional vector space V have the same number of elements. Ik kom hier helaas niet uit. Klopt deze uitspraak of niet? En zo ja hoe bewijs je dat??

Alvast bedankt (y)

De dimensie van V is gelijk aan het aantal elementen in de basis. Beide basis spannen dezelfde ruimte op, met dezelfde dimensie. Dus de bases hebben evenveel elementen.

dat is zo voor n=<3

want als je in R3 werkt dan moeten de basisvectoren nog altijd onafhankelijk zijn, dat kan alleen als ze alle3 loodrecht op elkaar staan. Je kan daar nooit een vierde bij bedenken die ook Lin Onafh zou zijn.

Maar in dit geval kan het net zo goedde 10020303e dimensie zijn. En daar kan je net zo goed een basis voor vinden. Een voorbeeld is een eenheidsmatrix van 10020303 bij 10020303. Staan dan allemaal loodrecht op elkaar, maar het is dan niet echt voor te stellen. En in deze opgave gaat het om een eindige vector ruimte n. Waarbij n niet verder is gedefineerd. Dus het lijk kloppen.

Ze moeten inderdaad onafhankelijk zijn (maar zeker niet per se loodrecht op elkaar).

Maar als de vectoren niet afhankelijk zijn kan je volgens mij niet spreken van een basis.