parametrisering
 

Hallo,
Bij het oplossen vd lijnintegraal van een differentiaalvorm moet je de parametrisering bepalen om de lijnintegraal uit te rekenen. Ik snap alleen niet echt meer hoe je dat doet, dat parametriseren.

Voorbeeldopg:

w = (y-x^2)dx + (x+y)dy
dus p(x,y) = y-x^2 en q(x,y) = x+y
Laat nu y1 het gedeelte van de parabool y= x^2 in het xy-vlak zijn met beginpunt (0,0) en eindpunt (2,4). y2 is het lijnstuk dat loopt van (0,0) tot (2,4). Parametrisering zijn (t,t^2) met 0<t<2 en (t,2t) met 0<t<2.

[...]

Maar wat is parametriseren nou precies, hoe doe je het en wat doen ze nou in dit voorbeeld precies???

Alvast bedankt!

Waar het om gaat is dat je x en y beschouwt als functies van een parameter t, dus x=x(t) en y=y(t). De differentialen dx en dy gaan dan over in dx=d(x(t))=x'(t)*dt en dy=d(y(t))=y'(t)*dt. De eerste parametervoorstelling heeft betrekking op het stuk van de parabool y=x², wat je kunt zien door x=t te kiezen en dit in y=x² te substitueren. De tweede parametervoorstelling heeft betrekking op het lijnstuk tussen (0,0) en (2,4). Dit lijnstuk ligt op de lijn y=2*x, vandaar dat je, als je hier weer x=t kiest, automatisch y=2*t krijgt.

Je hebt een lijn in het xy-vlak gedefineerd door y = x^2. Het doel van het parametriseren is om y en x beide uit te drukken in 1 variabale: t. Je integreert namelijk over zowel x als y. Door over te gaan op de variabele t, gaat dit over in een integraal over t.

Je hebt dus eerst de relatie:
y = x^2

Met begin- en eindpunten: (0,0) en (2,4).

Het parametriseren
Stel je neemt x[t] = t, waarbij t loopt van 0 tot 2. (Dus: 0<t<2). Nu moet y nog worden uitegdrukt in t. Aangezien y = x^2, is dit vrij simpel: y[t] = x[t]^2 = t^2.

Wat je nu hebt is de parametervoorstelling (x[t],y[t]) = (t,t^2) met 0<t<2. Je hebt als het ware de lijn, die zich in een vlak bevindt uitgedrukt in 1 variabele. Het is vrij logisch dat dat kan, aangezien een lijn 1-dimensionaal is.

Volgende stap is het invullen in de integraal. Je kan iedere 'x' en 'y' in de integraal zien als een functie van t. Verder kan je het zaakje vermenigvuldigen met dt/dt, waardoor je krijgt:

( (y-x^2)dx + (x+y)dy ) *dt/dt =
((y[t] - x[t]^2)*dx[t]/dt + (x[t] + y[t])dy[t]/dt )*dt
Zoals je ziet is het nu een kwestie van invullen. x[t] = t, y[t] = t^2, dx[t]/dt = x'[t] = t en dy[t]/dt = y'[t] = 2t.

Deze gegevens vul je in en werk je uit:

(((t^2 - t^2)*1 + (t + t^2)*2t )dt =
(2t^2 + 2t^3)dt =
2/3*t^3 + 1/2*t^4

(Het integraalteken moet je bij iedere regel er maar ff voor denken) Uiteraard moet je ook nog de grenswaarden invullen:
2/3*2^3 + 1/2*2^4 - ( 2/3*0^3 + 1/2*0^4 ) = 40/3

De andere parameterisering moet je zelf maar ffies doen. Als het niet lukt moet je het maar ff zeggen.

Overigens zijn deze parameteriseringen erg voor de hand liggend: je stelt x gelijk aan t, en daaruit volgt meteen y[t]. Uiteraard kan je ook een cirkel, spiraal of nog ingewikkeldere lijnstukken hebben. Waar het om draait is dat je de lijn eerst beschreef met 2 variabelen (x en y), maar door het parameteriseren ga je juist over op 1 variabale: t.

Ik weet dat het erg abstract klinkt, en ik hoop dat ik het niet al te vaag uitleg. Anders moet je het maar ff zeggen.

Ik geloof dat ik het begin te begrijpen! Bedankt voor de uitleg:)!!