Lin alg
 

he allemaal,

Ik ben weer bezig met wiskunde, en uit 1 opgave kwam ik totaal niet. Wie kan mijn helpen?/ Alvast erg bedankt.

let T: P3-->P3 be defined by T(p(x))=xD(p(x)) and let the ordered bases B and B':
where b=b'
(x^3,x^2,x,1)

Find the matrix representation A relative to B,B'

Working with the matrix A and the coordinate vectors, find al the solutions p(x) of T(p(x))=x^3-3x^2+4x

The transformation T can be decomposed into T=T2 open rondjeT1, where T1: P3->P2 os defined by T1(p(x))=D(p(x)) and
T2: P2-->P3 is defined by T2(p(x))=xp(x). Fidn the matrix representations of T1 and T2 using the ordered bases B of P3 and B dubbel accent=(x^2,x,1) of P2 Now mulitply these Matrix representations for T1 and T2 to obtain a 4 by 4 matrix, and compare with the matrix A. What do you notice.

D Multiply the two matrices found in part c to obtain a 3 by 3 matrix let T3: P2->P2 be a linear transformation having the matrix as matrix representation relative to B dubbel accent, B dubbel accent for the ordered basis B dubbel accent of part c. Find T3(a2x^2+a1x+a0). How is T3 related to T1 and T2?


Heel erg bedankt dus (y)

damn 'kmoet hier over 2 weken tentamen in doen, maar het klinkt nog allemaal heel erg onbekend :o

Dat dacht ik dus ook ja, die smilies waren niet helemaal de bedoeling, waar die :p staat moet eigelijk : P staan

Laat b een vector van de basis B en b' een vector van de basis B' voorstellen en laat A de transformatiematrix zijn die b in b' transformeert, dan geldt: b'=A*b. Je weet hoe de componenten van b van b' afhangen, dus je weet hoe A^-1 er uit ziet, aangezien tevens geldt:
A^-1*b'=A^-1*A*b=I*b=b met I de 3 bij 3 eenheidsmatrix. Omdat A^-1 uit de gegeven relaties tussen b en b' valt af te leiden kun je met behulp van de formule A*A^-1*=I A vinden.
Er is gegeven: T(p(x))=x*D(p(x))=x*p'(x), waarbij
p'(x) de afgeleide van p(x) voorstelt, dus kun je met behulp van A en de coördinaatvectoren de oplossingen voor T(p(x))=x³-3*x²+4*x vinden.
T is de samenstelling van T₂ na T₁ met T₁(p(x))=D(p(x))=p'(x) en T₂(p(x))=x*p(x), dus T(p(x))=T₂(T₁(p(x)))=D(T₁(p(x)))=D(x*p(x))=p(x)+x*p'(x). Er is gegeven dat B een basis is van P₃ en dat B"=(x²,x,1) een basis is van P₂. Je weet hoe je bij een gegeven vector x en een transformatiematrix A de beeldvector x'=A*x kunt vinden, dus ik neem aan dat dit verder geen probleem meer is.
Maak voor het laatste onderdeel gebruik van de gegevens uit de voorgaande onderdelen om T₃(a₂*x²+a₁*x+a₀) en de relatie tussen T₁, T₂ en T₃ te vinden.

Ik ben al weer wat verder gekomen. Zoals sommige al hadden gezien, is de basis van deze opgave veranderd, en dat maakt de boel denk ik wat eenvoudiger. Matrix A heb ik nu berekend, door is de afgeleidde van de basis te nemen en dat maal x te doen, dan krijg je 3x^3, 2x^2, x
De matrix A word dan
3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0

Alle oplossingen van opgave 2 snap ik niet helemaal wat ze er mee bedoelen, maar mijn lijkt dat de coordinaten vector 1,3,4,0 is. En dat vermendigvuldig je met die matrix a en je krijgt er de matrix 3,6,4,0 uit. En laat dat nu de berekening zijn die je normaal zou doen, als je de som zelfs zou maken. Maar of dit helemaal klopt weet ik niet.

Bij het derde deel kom ik niet helemaal uit. Je heb dus T1 die P3 naar P2 stuurt en gedefineerd is als T1[p[x]]=D[p[x]]
De basis van P3 is x^3,x^2,x,1 en de basis van P2 is b''=[x^2,x,1]
Als je dit zou uitvoeren, dus die regels volgens, dan is D[p[x]]=3x^2,2x^2,1 En als je dat zou uitzetten tegen de basis van b'' dan zou je de matrix
3 0 0
0 2 0
0 0 1

Als je dit ook zou doen met T2 die P2 naar P3 stuurt, en gedefinieerd is als T2[p[x]]=xp[x] en dit zou uitvoeren krijg je als eerste: x^3,x^2,x,0 en dat uitzetten tegen de basis van B krijg je de matrix

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0

Maar als je die zou vermendigvuldigen krijg ik er geen 4 bij 4 matrix uit? Hoe moet ik dit oplossen, en zit ik wel op het goede spoor??

Kijk naar de definities van T₁ en T₂. Er geldt: T₁(p(x))=D(p(x))=p'(x)
en T₂(p(x))=x*p(x). Nu geldt: T(p(x))=x*D(p(x))=T₂(T₁(p(x))). T₁ is een afbeelding van P₃ naar P₂ en T₂ is een afbeelding van P₂ naar P₃, dus de samengestelde afbeelding T (ofwel T₂(T₁)) is, volgens de regel voor samengestelde afbeeldingen, een afbeelding van P₃ naar P₃. De transformatiematrix van T₁ is een 3 bij 2 matrix, en die van T₂ is een 2 bij 3 matrix, dus de transformatiematrix van T is een 3 bij 3 matrix, omdat deze matrix de produktmatrix is van de transformatiematrices van T₁ en T₂.

ehm, vraagje, komt dit uit het boek 'Linear Algebra' van ..., shit, hoe heet die gast ook alweer?

nou ja, een wit boek in elk geval. Met voorop een of ander oranje-zwart figuuer

het is eindelijk gelukt. Voor de geintreseerde. De eerste deel opgave leverde inderdaad de matrix op dsie ik had neergezegt. De 4 bij 4 dus

3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0

Deelvraag 2 leverede iets anders op.
Ik ging er van uit dat T(p(x))=x^3-3x^2+4x een gewone defintie was, maar dat is dus niet zo. het antwoord is in dit geval
1/3
-2/3
4
c

c is een constante. Eigelijk zoek je hier de coordinaten vector die de matrix a in T(p(x))=x^3-3x^2+4x veranderd

Deel vraag 3 was eigelijk ook niet zo moeilijk, maar ja, je moet het maar net zien. het leverde in ieder geval de 2 matrices:

3 0 0
0 2 0
0 0 1
0 0 0

en de matrix:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

Die vermedigvuldigt levert weer A op, en dat is wat je dus ziet.

deelvraag 4, moet je de matrices zo vermendigvuldigen dat je een 3 bij 3 krijgt. En dat blijkt dan T3= T1 0 T2

En ja, het is het groene boek geschreven door fraleigh beauregard

Mooi zo. :)