[Wi] hoeken
 

Ik heb moeite met het uitrekenen van sin, cos en tan van hoeken die niet zo standaard zijn.
Dat tabelletje van 1/6pi 1/4pi 1/3pi 1/2pi ken ik wel van sin,cos,tan.
Maar hoe kan je (zonder rekemachine) van hoeken als 11/6pi of 9/7pi de sin/cos/tan uitrekenen??
Mn leraar zegt teken het, maarja, dan weet ik ongeveer wel wat de oplossing moet zijn, maar niet precies..

Wie helpt mij:)?

11/6 pi = 1 5/6 pi. van 1 pi en 5/6 pi is de sinus en de cosinus te berekenen (zonder rekenmachine, dat zijn standaardvormen)
de tangens is dan gewoon sin/cos.

van 9/7 pi heb ik geen idee, en dat tabelletje ken ik ook niet zo best......

Hmm maar ik heb ook moeite met 1 5/6pi "gewoon" te berekenen geloof ik:s..

En tijdje geleden dacht ik dat ik 't snapte, maar nu toch weer niet:s

sin pi = -1
sin (5/6)pi = 0,5
deze 2 moet je gewoon leren.
vervolgens kun je ze optellen: -1+0,5 = -0,5
enzo ook met de cosinus

sin(pi) is nog altijd 0 volgens mij :)

Idd...

poging tot korte samenvatting sin/cos/tan:

sinus en cosinus zijn modulo 2 pi hetzelfde..
Oftewel:

sin(1) = sin(2_pi + 1)
sin(0,5_pi) = sin(2,5_pi)

Dus ook:
sin(2,5_pi) = sin(0,5_pi)
sin(1,5_pi) = sin(-0,5_pi)

En (zoals Floris al opmerkte):
sin(11/6_pi) = sin(-1/6_pi)

Dan moet je het plaatje van de sinus en de cosinus in je hoofd hebben... sinus begint op 0 en gaat dan omhoog. Alle getalletjes die je moet weten zijn van 0 tot de eerste top (0,5_pi). Op 2/3_pi (= 0,5_pi + 1/6_pi) is de sinus hetzelfde als op 1/3_pi (= 0,5_pi - 1/6_pi) En zo zijn de waarden van de sinus hetzelfde hoe verder je van de halve _pi af gaat zitten.
Als je dan op _pi zit en verder naar rechts gaat (of in dezelfde symmetrie naar links vanaf 0) krijg je de negatieve waarden (dus sin(-1/6 _pi) = -sin(1/6_pi) = -0,5 = sin(11/6 _pi))

Cosinus werkt op dezelfde manier, alleen begint die op (0,1) (is bij sinus (0,5 _pi; 1), er geldt niet voor niks cos(x) = sin(x + 0,5 _pi))
En tangens is inderdaad sinus gedeeld door cosinus.

Van hoeken die een veelvoud zijn van 1/7*pi kun je de sinus, cosinus en tangens alleen bij benadering weergeven. Dit heeft te maken met het feit dat een regelmatige zevenhoek niet met passer en liniaal construeerbaar is. Wat de hoek van 11/6*pi betreft: dit is een hoek die gelijk is aan
2*pi-1/6*pi, dus er geldt: sin(11/6*pi)=sin(2*pi-1/6*pi)
=-sin(1/6*pi)=-1/2, cos(11/6*pi)=cos(2*pi-1/6*pi)
=cos(1/6*pi)=1/2*sqrt(3), en tan(11/6*pi)=tan(2*pi-1/6*pi)=-tan(1/6*pi)=-1/3*sqrt(3). Je kunt dit afleiden door een eenheidscirkel te tekenen en van de symmetrie-eigenschappen daarvan gebruik te maken.

Hmm kgeloof dat ik het wel weer ongeveer begin te snappen..

En als je Arg[1 + i SQRT(3)] uit moet rekenen, dan zie ik hoe je het moet tekenen op de eenheidscirkel, maar hoe zie je welke hoek hier bij hoort..

Bij Arg[3/2pi, pi, 1] etc. weet ik het wel, dat zie je in de eenheidscirkel onmiddelijk..

:o ja, idd.
ik moet toch die tabel eens (opnieuw) leren, anders gaat het niet goed...