Als A*B= kwadraat en ggd(a,b)=1 dan zijn A en B beide kwadraten!? Waarom?
 

Hoi!

Als A*B= kwadraat en ggd(a,b)=1 dan zijn A en B beide kwadraten a en b zijn 'willekeurige' getallen

Waarom geldt dit?
(Ik heb het nodig bij het bewijs van N=4 van de de stelling van Fermat. Ze gebruiken dit in het bewijs, zie: http://members.home.nl/juansi/wiskun...en/bewijs.html )

alvast bedankt :)

m'n leraar gaat ook zoeken naar 't antwoord maar d'r is wat haast bij ;)

Wat bedoel je met A*B=kwadraat? Wil je hiermee zeggen dat als je A en B met elkaar vermenigvuldigt, je een getal krijgt dat bij worteltrekken een geheel getal oplevert? (bv 1,4,9,16,25,36,49,64,enz.)

juist

Ja :) (A en B zijn dus ook gehele, positieve getallen idd, dat was ik ook vergeten te vermelden :o)

hoi,
ik weet niet precies wat het bewijs is, maar ik ben deze vraag tegengekomen, maar wel in een betere context:
stel a,b en c getallen in Z (dus geheel + of -) zodat ab=c^2
en b=kb' en c=kc' met ggd(b,c)=k
1. toon aan dat er een positief geheel getal m bestaat zodat a=m*c'^2 en b=m*b'^2 .
2. wat kun je hieruit concluderen als ggd(a,b)=1?

(de rest van de vraag heeft betrekking op de oplossing van x^2+y^2=z^2

mm.. ik post de andere vraag ook, die is blijkbaar ook belangrijk..
stel in Z*Z*Z de vergelijking x^2+y^2+=z^2

toon aan dat x en y kunnenniet tegelijkertijd even of tegelijkertijd oneven zijn.

stel dat x is even en y is oneven, ton an dat z is oneven en dat als we stellen dat x+y=2a en z-y=2b en x=2c dat de getallen a,b en c voldoen aan ab=c^2

, met behulp van de eeerste vraag (de vraag die ik al heb gepost) toon aan dat er twee getallen bestaan n en m zodat a=m^2 en b=n*^2 en ggd(n,m)=1 .
de getallen m en n, eentje is even en het andere is oneven.

laat zien dat (x,y,z) die we zoeken zijn de getallen die voldoen aan: x=2qp en y=q^2-p^2 en z=p^2+q^2
zodat p en q elkaar niet delen en één van de twee (p of q) is even en het andere getal is oneven.
wat is het verband tussen p en q? als x,y en z in deze volgorde drie termen zijn van een meetkundige reeks.

je weet A*B is een kwadraat. Dat wil zeggen dat elk priemgetal een even aantal voorkomt in de priemfactorontbinding van A*B: stelling 1: C=kwadraat <=> 2 is deler van vp(C) voor alle p. (vp(C) is een notatie die aangeeft hoe vaak (in de hoeveelste macht) het priemgetal p voorkomt in de priemfactorontbinding; dit kan overigens ook 0 zijn, want 2 is een deler van 0: 2*0=0. Zoals je (misschien) weet is elk natuurlijk getal te schrijven als produkt van priemgetallen bijv.: 24=2^3*3, 100=2^2*5^2 en heet 2^3*3 de priemfactorontbinding van 24.
Bewijs: C:=A*B is een kwadraat<=>sqrt(C) is een geheel getal<=>vp(sqrt(C)) is een geheel getal voor alle p (een wortel uit een priemgetal is nooit geheel: er zijn geen gehele delers, behalve het getal zelf en 1).
Als je de wortel neemt uit een getal, deel je alle machten in de priemfactorontbinding door 2, bijv: sqrt(100)=sqrt(2^2*5^2)=sqrt(2^2)*sqrt(5^2)=2*5=10. Stel nu dat voor een zeker priemgetal q geldt dat vq(C) is een oneven getal k. Dan geldt dat vq(sqrt(C))=k/2: is geen geheel getal. Omdat geldt dat vq(C) is niet geheel, geldt sqrt(C) is niet geheel en dus C is geen kwadraat. Tegenspraak. Dus geldt dat vp(C) is even voor alle p als C is kwadraat.
Stelling 2: Omdat ggd(A,B)=1, geldt voor alle getallen in de priemfactor ontbinding van A en B dat deze een even aantal keren voorkomen
Bewijs uit het ongerijmde: stel dat voor een zeker priemgetal q geldt dat deze een oneven aantal keren voorkomt in de priemfactorontbinding van A, dan moet deze ook een oneven aantal keren voorkomen in de priemfactorontbinding van B (anders is A*B geen kwadraat volgens stelling 1). Maar dan is q een deler van A en q een deler van B. In tegenspraak met ggd(A,B)=1. De aanname dat een priemgetal een oneven aantal keren voor kan komen in de priemfactorontbinding is dus onjuist en dus zegt stelling 2: 2 is deler van vp(A) voor alle p en 2 is deler van vp(B) voor alle p. Uit de desda-relatie van stelling 1 volgt dat A en B kwadraten zijn.

Heel erg bedankt, vooral young grow old :cool: Ik snap het nu helemaal :cool: