Ontbinden in factoren
 

Wie kan mij dat heel goed uitleggen??? :confused: :confused: :confused: :confused:

Eerst even de regels voor een aantal vermenigvuldigingen:
a(b+c)=a*b+a*c
(a+b)²=a²+2*a*b+b²
(a-b)²=a²-2*a*b+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
(a+p)(a+q)=a²+(p+q)a+p*q.
De produkten voor (a+b)², (a-b)² en (a+b)(a-b) worden de merkwaardige produkten genoemd. De eerste regel staat bekend als de verdeeleigenschap van de vermenigvuldiging.
Dan nu de overeenkomstige regels voor het ontbinden in factoren:
a*b+a*c=a(b+c)
a²+2*a*b+b²=(a+b)²
a²-2*a*b+b²=(a-b)²
a²-b²=(a+b)(a-b)
a²+(p+q)a+p*q=(a+p)(a+q).
Je ziet dus dat je de formules voor het ontbinden in factoren kunt vinden door de formules voor de produkten van rechts naar links te lezen.
De ontbinding a²+(p+q)a+p*q=(a+p)(a+q) wordt de ontbinding volgens de produkt-som methode genoemd. Het gaat hier namelijk om 2 getallen p en q die p+q als som en p*q als produkt moeten hebben.

dankje wel dat je me geholpen heb.Maar ik snap het nog steeds niets.Het is zo moeilijk.Mijn docetn vertelt dat je met een som een product moet rekenen en dat snap ik niet

Heb je geen voorbeelden die we hier dan voor je uit kunnen werken. Ik kan opzich wel ontbinden in factoren maar ik vind het lastig om zelf een voorbeeld te bedenken.

Neem de volgende functie: x^2 + 5x + 4

Hoe moet je nu bijvoorbeeld de nulpunten van deze functie vinden? Ontbinden in factoren.

Het laatste getal (de c volgens ax^2 + bx + c) daar moet je 2 getallen voor zien te vinden die met elkaar vermenigvuldigt 4 leveren:

1 x 4 = 4, 2 x 2 = 4, -2 x -2 = 4

Diezelfde getallen die we hierboven hebben gebruikt moeten opgeteld 5 leveren (de b):

1 + 4 = 5 (klopt), 2 + 2 = 4, -2 + -2 = -4

De getallen 1 en 4 leveren de juiste getallen op bij het vermenigvuldigen ( namelijk 4) en het optellen (namelijk 5)

Ontbonden in factoren levert dit dan (x +1)(x+4)

--> de nulpunten zijn dan x = -1 en x = - 4

Voorbeeldje genoemd ;)

Ik heb een heel hoofdstukg ehad net over het ontbinden in factoren..

(hoofdstuk 5, moderne wiskunde 3A vwo)

daarin stonden 2 dingen :

hoe ontbind ik een 2 term in factoren en hoe ontbind ik een 3 term in factoren.

Ik hierbij ff het rekenvoorbeeld uit mijn boek genomen.

Hoe ontbind je een tweeterm in factoren?
1. Zoek de grootste factor waar je beide termen door kunt delen.
2. Maak een vermenigvuldingtabel, vul de gevonden factor en de gegeven formule in en vul daarna de ontbrekende factoren in.
3. Schrijf de formule met haakjes.

Voorbeeld :
k=4t² - 12t

1. de grootste factor is 4t want
4t² = 4t * t en - 12t = 4t * 3

2.
x | t | -3
4t| 4t² | - 12a

3. Dit geeft
k = 4t(t-3)

Dit is voor mijn gevoel best wel onduidelijk :s
Ik heb nu even gekeken naar mijn aantekeningen en dat is eigenlijk een veel makkelijkere manier :

voorbeeld formule : p=2x + 8

als je het uitschrijft staat er eigenlijk :

p = 2*x + 8
Eigenlijk kan je 8 ook delen in 4*2 dus dan komt er te staan

p=2*x + 4*2

Vervolgens kijk je of er aan beide kanten van het + (of - teken) hetzelfde staat. In dit voorbeeld is dat een 2. Die moet je dan voor de haakjes zetten. De rest komt dan ACHTER het haakje dus als je hebt staan :

p=2*x + 4*2
krijg je :

2(x+4)

Nu heb je dus een tweeterm ontbonden in factoren..

--------------------

Hoe ontbind je een drieterm in factoren?
1. Maak een overzicht met alle mogelijkheden waarmee je het gezochte product kunt krijgen.
2. Kijk bij welke getallen de gezochte som hoort.
3. Schrijf de drieterm als een product van factoren.

Voorbeeld :
y = x² - 7x + 12

Je moet nu in een schema gaan zetten op welke manieren je allemaal 12 kan krijgen door te vermenigvuldigen.
Je krijgt dan het volgende schema :

12
1 en 12
-1 en -12 (-*- = plus)
2 en 6
-2 en -6
3 en 4
-3 en -4
4 en 3
-4 en -3

Als je daar een stukje van hebt opgeschreven moet je kijken welke vermenigvuldigings som opgeteld -7 vormen. Daarom moet je dus kijken bij de - getallen omdat - + - = +
-1+-12 = -13
-2+-6 = -8
-3+-4 = -7

Nu weet je dat -3 en -4 samen -7 vormen.
Vervolgens schrijf je het volgende op :

y = (x - 3)(x - 4)

Om te controleren of het klopt wat je hebt opgeschreven kan je nog een keer in een tabelletje controleren of het klopt :

* |x | -4
x | x² | -4x
-3|-3x | 12

je ziet dat als je dit nu opschrijft je uitkomt op :

y = x² - 7x + 12

-7x vorm je door -4x en -3x bij elkaar op te tellen.

De som klopte dus!


ik hoop dat je het nu ongeveer snapt..

[edit] Ik neem aan dat je al wel snapt hoe je sommen met haakjes zonder haakjes moet schrijven..[/edit]

vb. 1. stel je wilt X^2 + 5X + 6 ontbinden

- schrijf op : (X ) (X )
- zoek 2 getallen die vermenigvuldigd 6 en opgeteld of afgetrokken 5 zijn :
2*3=6 en 2+3=5 (dus 2 en 3 zijn beiden positieve getallen)
- vul in (x+2)(X+3)

vb. 2. Stel je wilt X^2+X+6 ontbinden

stap 1: (x )(x )
stap 2: zoek twee getallen vermenigvuldigd 6 en opgeteld/afgetrokken 1 (want voor de x kun je een 1 zetten!). Dit zijn 2 en 3 (2*3=6 3-2=1 --> dus 3 is een positief getal en 2 is negatief)
stap 3: (X+3)(X-2)


btw. Om die getallen te vinden hebben wij geen speciaal trucje geleerd.. je weet het meestal meteen of probeert wat uit.

kleine foutje ....... moet X^2+X-6 zijn. reken maar na
X^2+X+6 kun je niet ontbinden omdat functie f( y )=X^2+X+6 geen nulpunten heeft.

Zolang je je beperkt tot de reële getallen, wat in het middelbaar onderwijs in Nederland gebruikelijk is, heb je inderdaad geen mogelijkheid om dit in factoren te ontbinden. Wil je dit toch in factoren proberen te ontbinden, dan moet je je toevlucht nemen tot de complexe getallen. Dat zijn getallen van de vorm a+b*i, waarbij a en b reële getallen zijn en i een niet-reëel getal met de eigenschap i² = -1. Veronderstel dat x²+x+6 te ontbinden is als (x-a)(x-b) met a=p+i*q en b=p-i*q, dan geldt: a+b=-1=2*p en a*b=p²-i²*q²=p²+q²=1/4+q²=6, dus q²=5 3/4. Stel q>0, dan geldt:
q=sqrt(5 3/4)=sqrt(23/4)=sqrt(23)/2=1/2*sqrt(23). We vinden dus als ontbinding: x²+x+6=(x+1/2+1/2*i*sqrt(23))(x+1/2-1/2*i*sqrt(23)).

oeps.. vergeten te bedenken dat niet alles een nulpunt heeft :o :D (als ik de oplossing van mathfreak buitenbeschouwing laat want daar hebben wij 't op school niet over) maar dank je voor de verbetering :)