Bepaalde integraal
 

Hoi ik zit met een probleem bij het oplossen van een bepaalde integraal:

functie: Exp(-a*x^2 +2b*x)
en deze te integreren van -Inifinity to Infinity..
Ik weet wel wat er uit komt (vul in Mathematica in ofzo) maar het moet ook met de hand optelossen zijn.... vraag is hoe...

Dit lijkt meer op een oneigenlijke integraal.
Ik zou proberen dat ding met de substitutieregel op te lossen, alleen weet ik niet meer precies hoe dat ging :o
Dan gewoon het limietje en dan is er misschien uit te komen...

Zie ook: http://gathering.tweakers.net/forum/...essages/897554

Voor de volledigheid. :)

exp[-a x² + 2bx] heeft geen primitieve (als je tenminste het werken met de errorfunctie buiten beschouwing laat).

Maar goed, met grenzen min oneindig, tot oneindig geldt er (INT{ }dx = Integraal-teken:

INT{exp[-a x² + 2bx]}dx =
INT{exp[-a (x² - 2(b/a)x)]}dx =
INT{exp[-a*(x-b/a)² + a*(b/a)²]}dx =
exp[a*(b/a)²] * INT{exp[-a*(x-b/a)²]}dx =

Substitueer:
u = x-b/a
du = dx

exp[a*(b/a)²] * INT{exp[-a*u²]}du

En dit is weer een standaardintegraal, welke je zou kunnen bepalen door op poolcoordinaten over te gaan. Ik neem aan dat je die afleiding wel kent, anders moet je het maar zeggen.

INT{exp[-a*u²], {-inf, inf}}du = Sqrt[pi/a]
Dus:
INT{exp[-a x² + 2bx], {-inf,inf}}dx = exp[b²/a]*Sqrt[pi/a]