exponetieele groei
 

De vraag is: Een hoeveelheid neemt maandelijks met 3% af, nahoeveel maanden is deze hoeveelheid gehalveerd???
pleese help :)

Het gaat hier om een groeifunctie van de vorm N(t)=N(0)(0,97)^t,
waarbij N(t) de hoeveelheid op tijdstip t voorstelt en t de tijd in maanden. Er moet gelden: N(t)=1/2*N(0), dus N(0)(0,97)^t=1/2*N(0), dus (0,97)^t=1/2. Neem links en rechts de logaritme, dan geldt: t*log(0,97)=log(1/2), dus t=log(1/2)/log(0,97)=22,76, dus na ongeveer 22 maanden is de hoeveelheid gehalveerd.

thanx ook al begrijp ik niet hellemaal waarom je die log functies door elkaar deelt :( leg dat eens uit plees

Hij schreef:
Dit is een triviale wiskundige bewerking... a*b=c dus a = c / b

Je maakt in de boorgaande stap wel gebruik van het volgende rekeltje:

log(a^b)=b*log(a)

Bij een exponentiële groeifunctie heb je te maken met een functie van de vorm f(x)=b*g^x. Hierbij stelt b de beginhoeveelheid voor, g de groeifactor en x het tijdsverloop. Je vindt zo dus het aantal f(x) op tijdstip x.
Voor g>1 heb je te maken met een exponentiële toename, bijvoorbeeld de groei van een bacteriekolonie, en voor g<1 heb je te maken met een exponentiële afname, bijvoorbeeld het verval van een radio-actieve stof.
Neem voor het gemak b=1, dan geldt: f(x)=g^x. Dit is een exponentiële functie met grondtal g. Veronderstel nu dat ik bij een gegeven f(x), zeg a, de bijbehorende x wil weten, dus dat ik x wil oplossen uit a=g^x. Ik moet dan g tot een bepaalde macht x verheffen om a te krijgen. Dit getal x noemen we de logaritme van a met grondtal g, notatie: x=^glog(a). Voor g=10 krijgen we de gewone logaritme van a, die we noteren als log(a).
Voor het rekenen met logaritmen bestaan de volgende regels:
^glog(a*b)=^glog(a)+^glog(b)
^glog(a/b)=^glog(a)-^glog(b)
^glog(a^x)=x*^glog(a)
^glog(a)=^plog(a)/^plog(g).
Met behulp van de laatste formule kun je logaritmen van het ene grondtal naar logaritmen van het andere grondtal omrekenen. Neem je p=10, dan vind je: ^glog(a)=log(a)/log(g), wat je met behulp van je rekenmachine kunt berekenen.
Terug naar (0,97)^t=1/2. Om hieruit t op te lossen zou je gebruik kunnen maken van de definitie a=g^x <=> x=^glog(a),
dus (0,97)^t=1/2 <=> t=^0,97log(1/2). Maak je dan ook nog gebruik van de formule ^0,97log(1/2)=log(1/2)/log(0,97) (de vierde formule met g=0,97, a=1/2 en p=10), dan vind je: t=log(1/2)/log(0,97).
Je kunt ook een tussenstap maken om dit te vinden: neem namelijk van (0,97)^t=1/2 links en rechts de (gewone) logaritme, dan geldt:
log((0,97)^t)=log(1/2). Voor log((0,97)^t) geldt volgens de derde formule (met g=10, a=0,97 en x=t): log((0,97)^t)=t*log(0,97), dus t*log(0,97)=log(1/2), dus t=log(1/2)/log(0,97).