wisk: opgave
 

Gegeven is een kwartcirkel met middelpunt M en hoekpunten A en B. Aan deze kwartcirkel wordt in een punt R een raaklijn getrokken. De projecties van A en B op deze raaklijn noemen we A' respectievelijk B'. Als gegeven is dat AA' = 1 en BB' = 2, hoe groot is dan de straal van de cirkel?
http://www.pythagoras.nu/mmmcms/imag...wartcirkel.png
ik had..na wat rekenwerk r=5

Hey, deze stond in de nieuwe Pythagoras!!
Ben ik ook lid van, alleen ik kon er niet echt uitkomen... Ik zag het gewoon niet:P. Vertel hoe kwam je aan 5?

Greetz!

hiohoi,,
ik ben er geen lid van.......
het zal je een beetje concentratie kosten. een blaadje en een pen zijn aanbeloven..
stel: O het snijpunt van (MA) en (A'B') en P het snijpunt van (MB) en (A'B').
A' is de projectie van A en dus (AA')//(MR) en hoek AA'O =90
er geldt OA/OM=AA'/MR = OA'/OR
OA/(OA+r)=1/r (MA=MR=r)
dus r*OA=OA+r en daaruit OA=r/(r-1)
OA'^2=OA^2-AA'^2=(r/(r-1))^2-1^2=(2r-1)/(r-1)^2
dus OA'=wortel(2r-1)/(r-1)
op dezelfde manier is:
(BB')//(MR) en hoekBB'O=90 en PB/(PB+r)=BB'/MR =2/r
uiteindelijk PB=2r/(r-2)
PB'^2=PB^2-BB'^2=(2r/(r-2))^2-4 dus
(4r^2-4(r^2-4r+4))/(r-2)^2 (noemers gelijk maken)
dus PB'^2=16(r-1)/(r-2) >> PB'=4wortel(r-1)/(r-2)

en nu ff met hoeken.
ik laat je bewijzen dat hoekBPB'=hoekOAA' (a)
( denk bijv. aan : PBB'=PMR en PMR+BPB'=90)
uit (a) geldt tanBPB'=tanOAA'
dus BB'/B'P=OA'/AA' dus 2/(4wortel(r-1)/(r-2))= wortel(2r-1)/(r-1)
hieruit volgt 2(r-2)/(4wortel(r-1)) =wortel(2r-1)/(r-1)
dus r-2= 2wortel(2r-1)/wortel(r-1)
** waarom?! links had je wortel(r-1) en rechts (r-1)
delen door wortel(r-1) geeft links 1 en rechts wortel(r-1)**
met kwadraten en vermunigvuldien krijg je een vergelijking van de 3e graad. met 0 en 5 als oplossingen..en dus r=5 ( concluderend uit de wortels.want r>0

bij opgave 106 is et nog moeilijker...
ik ben nog bezig met die vraag..
..heb je enige idee hoet dat moet?