integraaltje
 

Ik zit hier met een probleem uit een Engels calculus-boek, dus ik schrijf hem maar letterlijk over om onduidelijkheden te voorkomen.

Use polar coordinates to find the volume of the given solid:
Above the cone z=sqrt(x²+y²) and below the sphere x²+y²+z²=1

ik heb zelf al voor 'z' geschreven: z=r

en hoe dan verder?

mvg
Floris

Stap over op bolcoördinaten (x=r*sin(thèta)*cos(fi), y=r*sin(thèta)*sin(fi), z=r*cos(thèta)), dan geldt voor het volume-element dV=dx*dy*dz: dV=r²*sin(thèta)*dr*dthèta*dfi. Je kunt de gevraagde integralen in dit geval dus herleiden als drievoudige integralen met r, thèta en fi als integratievariabelen.

hey Floris

ik heb Mathfreaks advies niet gevolgd :bloos: en cilindercoördinaten gebruikt omdat ik niet direct zag welke begrenzingen je aan theta en phi moest opleggen. Bij cilindercoordinaten gaat dit makkelijker op zicht.

bon, ik veronderstel dat je maple taal kent.

V:=int(int(int(r,z=0..sqrt(2)/2),r=0..sqrt(2)/2),phi=0..2*Pi) +
> int(int(int(r,z=sqrt(2)/2..1),r=sqrt(2)/2..0),phi=0..2*Pi);
V := 1/2*2^(1/2)*Pi-1/2*Pi

tja, ik ga er mijn zakgeld niet onder verwedden maar ja... mss zou je me ooit moeten laten weten of dit het correcte antwoord was.


[edit] bij nader inzicht komt deze integraal .650645142 uit en dat is veel te weinig als je weet dat heel de bol 4*Pi inhoud heeft [/edit]

En toen had ik het een halve week heel druk en kon ik weinig aan mn studie doen, dus sorry dat ik niet eerder reageerde :o

De oplossing van Mathfreak is inderdaad het makkelijkst, maar toen ik deze vraag postte had ik nog geen drievoudige integralen gehad en was dat niet de oplossing die ze zochten.
Cilindercoordinaten kunnen ook, maar drievoudige integralen mochten daar nog niet.
ik heb gehoord dat je het beter als een bol en kegel afzonderlijk kan bekijken dus bleek de volgende integraal een oplossing (in poolcoordinaten):

int(theta=0..2pi)int(r=0..sqrt (2)/2) (sqrt(1-r²)-r)r dr dtheta

ik snap nu wel hoe ze hierbij komen, maar de integraal kan ik nog niet oplossen...
iemand die het wel weet?

Ga uit van sqrt(1-r²)r*dr=d(1/2*r*sqrt(1-r²)+1/2*arcsin(r)). Ik neem aan dat je er dan verder wel uitkomt.

[edit]foutje, de inhoud is niet 4*Pi maar 4*Pi/3 en dan kan het wel

uiteindelijk (na veel moeite en navraag :() heb ik het met de substitutieregel opgelost:
(2Pi/3)[1-(1/sqrt(2)]

en als je Maple niet laat evalf-en komt hij daar waarschijnlijk ook op ;)

maar toch bedankt :)

mja, het klopt wel wat je doet. We hebben de luxe van niet te moeten integreren maar alles door Maple te laten oplossen.

Ik heb ook nog een integraaltje waar ik niet zo gauw uitkom. Uiteraard gaat het me om de manier waarop je hem oplost.

Komt ie:
Integraal over:
s/{(s² -2st + 1)^3/2} ds

met grenzen {0, oneindig}

Voor de volledigheid; het gaat eigenlijk om de volgende dubbele integraal.
Dubbele integraal over:
s(t²-1)/{(s² -2st + 1)^3/2} dsdt
met grenzen:
voor s: {0, oneindig}
voor t: {-1,1}

Maar als de eerstgenoemde valt op te lossen kom ik ook wel uit de andere. Als iemand een andere manier weet, graag ;) Uiteindelijke antwoord is overigens 2.

s²-2*s*t+1=s²-2*s*t+t²+1-t²=(s-t)²+1-t²=(s-t-t)(s-t+t)+1=s(s-2*t)+1. Verder kom ik ook niet.