wiskunde: vecotr rekening hulp?
 

Wie kan mij helpen met een goede uitleg voor deze opgave:


Deze drie valkken zijn gegeven:

a: 2x - y + 3z = 1

b: x + y + z = 0

c: -x +2z = 5


Deze vlakken snijden elkaar paarsgewijs in een drietal lijnen. Bepaal van elk van die lijnen een parametervoorstelling. Toon ook aan dat die drie lijnen door een punt gaan, en bepaal van dat punt de coordinaten.

Ik snap dus neit hoe ze aan dit antwoord komen, wie kan mij helpen???

Het antwoord:

(x,y,z)= (-1,0,1) + lamda(-4,1,3)

(x,y,z)=(-5,-11,0) + mu(2,7,1)

(x,y,z)=(-5,5,0) + nu(2,-3,1)

Het gemeenschappelijk snijpunt is (-9/5, 1/5, 8/5)

Voor de eerste 2 vlakken geldt:

a: 2x - y + 3z = 1

b: x + y + z = 0

Deze 2 vergelijkinen zijn te herschrijven naar 2 vergelijkingen met ieder 2 variabelen, bijvoorbeeld (x,y) en (y,z):

-x - 4y = 1
-3y + z = 1

Je kan nu x, y en z uitdrukken in y. Je krijgt dan:

x = -1 - 4y
y = y
z = 1 + 3y

Voor z = 0 krijg je de steunvector: (-1,0,1)
Het y-afhankelijke deel stelt dan de richtingsvector voor: (-4,1,3)
Een parametervoorstelling voor de snijlijn is de steunvector + een meervoud van de richtingsvector:
(x,y,z) = (-1,0,1) + labda(-4,1,3)

Oplossen naar x of z zal waarschijnlijk een andere parametervoorstelling opleveren. Om te controleren of het om dezelfde lijn gaat moet er gelden:
-De richtingsvectoren zijn meervouden van elkaar
-De steunvectoren liggen op beide lijnen.
Een lijn kan je immers met oneindig veel verschillende parametervoorstellingen representeren.

Maar goed, dit is dus een manier om een paramatervoorstelling te vinden voor de snijlijn. Als je nu 3 snijlijnen hebt gevonden, en je weet dat ze door 1 punt gaan, hoef je meer voor 2 lijnen het snijpunt te vinden.

(x,y,z) = (-1,0,1) + labda(-4,1,3)
(x,y,z) = (-5,5,0) + nu(2,-3,1)

Een manier om dit op te lossen is 2 vergelijkingen op te stellen voor labda en nu. Stel bijvoorbeeld de y-coordinaten van de paramatervoorstellingen aan elkaar gelijk (zelfde voor de z-coordinaten).

y = y
labda = 5 - 3*nu

z = z
1 + 3*labda = nu

Oplossen naar nu en labda:
nu = 8/5
labda = 1/5

Dit is gelijk aan het punt:
(-1,0,1) + 1/5*(-4,1,3) = (-9/5, 1/5, 8/5)

Je kan nu nog controleren of dit punt ook op de andere 2 lijnen ligt, maar dat is niet per se nodig.

Bedankt voor je reactie,

Het is mij helemaal duidelijk :)

Heel erg bedankt.