Scholieren.com forum - Differentiaal rekenen

OK..eerst ff dit...dif vergl leer je niet zo ff..Komt heel wat bij kijken..Maar ff een voorbeeld. Stel je springt uit een vliegtuig, je zou misschien denken dat je steeds blijft versnellen, maar dat is dus niet zo.Immers hoe sneller je valt, hoemeer weerstand je ook krijgt. Tijdens je val heb je dus een snelheidsafhankelijke weerstand.De vraag is nu : hoe hard ga je nu na een bepaald aantal seconden. De naarbeneden gerichte kracht is de zwaartekracht, naar weerstand is naar boven gericht. Fweerstand = kv waarin v je snelheid is en k je weerstandswaarde(afhanklijk van je vorm etc) .Merk op dat weestand afhankelijk is van je snelheid, maar dat je snelheid tegelijkertijd afhankelijk is van je weerstand..

De som van de totale krachten in de verticale richting is nu gelijk aan:

Fres = mg – kv

Omdat volgens Newton F = ma, kan je ook schrijven F = m× d2s/dt2 of F = m×(dv/dt)

Hieruit volgt dan :

m× dv/dt = mg – kv

Dit verder uitwerken geeft :

dv/dt = g – (k/m)v

dv/dt + (k/m)v = g

We hebben nu een eerstegraads DV. Deze kan je oplossen door aan alle termen een e-macht toe te voegen op een zodanige manier dat de product regel ontstaat.Klinkt vaag, maar let op.

We gaan een e-macht toevoegen met in de macht de integraal van de coëfficiënt van v. In dit geval dus de integraal van k/m. Dus :

Exp (integraal van k/m dt) = e(k/m) × t

De vergelijking wordt nu :

v`e(k/m) × t + (k/m) ve(k/m) × t = g e(k/m) × t

Merk nu op dat links van het = teken precies de afgeleide staat van v e(k/m) × t . Dus :

(v e(k/m) × t)` = g e(k/m) × t

Hieruit volgt weer dat

v e(k/m) × t = ò g e(k/m) × t dt

v e(k/m) × t = (gm/k) × g e(k/m) × t + c

v = (gm/k) + ce(-k/m) × t

Merk opdat 1/ e^((k/m) × t) gelijk is aan
e^((-k/m) × t)

We hebben nu dus een formule gevonden voor de snelheid afhankelijk van de tijd, maar we zitten nog wel met die integratie constante. Als we nu als beginvoorwaarde nemen dat de snelheid op tijdstip 0 gelijk was aan 0. Toen gingen ze dus springen, dan kunnen we c bepalen :

Merk op dat e^((k/m) × 0) = 1

0 = (gm/k) + c×1

c = (-gm/k)

We hebben nu de definitieve vergelijking gevonden en die luidt :

v = (gm/k) – (gm/k)e(-k/m) × t

Laten we nu even wat waarden gaan aannemen.

Laten we aannemen dat die persoon een massa heeft van 80 kg, dat de zwaartekrachtsversnelling gelijk is aan 9.81 m/sec2 , en dat de
weerstandswaarde(factor) k gelijk is aan 6. We krijgen dan de volgende formule en het bijbehorende plaatje :

v = (9.81 × 80 / 6) - (9.81 × 80 / 6)e(-6/80) × t

v = 130.8000000 - 130.8000000*e^((-6/80) × t)

Laat je nu t naar het oneindige gaan, dan gaat de term e^((-6/80) × t) naar 0 , zodat je uiteindelijk niet harder als 130 m/s zal gaan.

SUCCER ERMEE>...