[wisk] buigpunten en buigraaklijnen
 

Kan iemand mij de buigpunten geven van de vergelijking f(x)= e^[(-1/2)*x^2+x]?

Ik zou het normaal berekenen met de 2de afgeleide van de vergelijking maar met die "e^macht" zit ik vast.
De afgeleide van een "e" waarde is normaal toch de e waarde zelf maal de afgeleide van de macht.
dus in dit geval:
e^[(-1/2)*x^2+x] * (-x+1)
Indien ik hier dan nog eens de afgeleide van neem bekom ik:
e^[(-1/2)*x^2+x] *(-x+1) + -1 * e^[(-1/2)*x^2+x]

Hoe kan ik hier ooit in godsnaam de xen van vinden?

Daarbij zou ik ook nog eens de vergelijking van de buigraaklijnen moeten opstellen.

Iemand die enig idee heeft van hoe het anders kan?

dit zegt Maple ervan :o:

Met je eerste afgeleide ben ik het eens, voor de tweede afgeleide kreeg ik echter:

f''(x)= -e^-0.5x²+x + (-x+1)².e^-0.5x²+x

De x-waarde(n ) van de buigpunten vind je door deze 2e afgeleide gelijk aan 0 te stellen.
De bijbehorende y-waarde(n ) vind je door deze x-waarden in de oorspronkelijke functie in te vullen (f(x)).

Voor een raaklijn geldt altijd: y=a.x +b

Hopelijk kom je nu verder...

ten eerste is je afgeleide al fout, want je hebt de kettingregel bij de e^ niet gebruikt bij de tweede afgeleide ;)

--> f'(x) = e^ [-0,5x^2 + x] x (-x + 1)

--> nu f''(x) = e^[-0,5x^2 +x] x (-x+1)^2 + e^[-0,5x^2 +x] x -1

--> nu stel je even p = e^[-0,5x^2 + x]

dus: p x (-x + 1)^2 - p = 0

--> p(-x+1)^2 = p dus (-x+1)^2 = 1

--> -x+1 = 1 en -x+1 = -1

--> -x = 0 en -x = -2

--> x = 0 en x = 2

--> schets de grafiek even en je ziet dat er idd een buigpunt is op x = 0 en x = 2 ;)

daarna bepaal je met f'(x) het hellingsgetal in deze punten door x=0 en x=2 in te vullen in f'(x) en vul deze waarden ook in f(x) in.

--> je weet nu door welke punten de raaklijnen gaan en weet je dus in de vergelijking y = ax+b de y, de a en de x en kun je bij de tweede de b uitrekenen (bij x=0 is b de y-waarde van de coordinaat omdat dit de y-waarde van het snijpunt met de y-as is ;))

In dit geval kun je voor een vermenigvuldiging beter een . of * gebruiken, aangezien x een variabele is...

ok, maar je weet wat ik bedoel ;) en daar gaat het toch tenslotte om ?????

Ik wel ja, maar ik startte dit topic niet... :p

Euh ja, nu dat je t zegt, mijn 2de afgeleide was inderdaad verkeerd :D
Ik begrijp wel nog niet hoe jij die e macht vervangt door p :|

om de e^ ....... wat makkelijker te maken kun je alle gelijke e^....... vervangen door een andere variabele:

vb:

e^2x - 4e^x +3 = 0

nu vind je e-machten niet leuk dus kun je zeggen: overal waar een GELIJKE e^ staat kun je vervangen door de variabel p,c,h,z enz.

ik kies even p:

we kunnen de vergelijking schrijven tot (e^x)^2 -4e^x + 3

nu vervang je e^x door p wat resulteert in p^2 - 4p + 3 = 0

dit is eenvoudiger op te lossen dan die e-machten.

--> dit levert dan (p - 1)(p - 3) = 0 dus p = 1 en p = 3

nu zeg je vervolgens maar p was e^x dus e^x = 1 dus x = ln 1 = 0

en e^x = 3 dus x = ln 3

hij deed eigenlijk 't volgende

f''(x)= 0

-e^-0.5x²+x + (-x+1)².e^-0.5x²+x = 0

haal e^-0.5x²+x buiten haakjes:

e^-0.5x²+x(-1+(-x+1)².1) = 0

dus: e^-0.5x²+x=0 of -1 + (-x+1)² = 0

e-macht kan nooit 0 worden dus: -1 + (-x+1)² = 0

resultaat: (-x+1)² = 1

etc...

Oh god, ik ben echt een idioot!
Thanks voor de duidelijke antwoorden (y)

graag gedaan ;)

Sinds wanneer mag je variabelen wegdelen? grondtal e bevat namelijk een variabele x in zijn exponent. Ik denk dat je eerder uit haakjes halen bedoelt, zoals hieronder.
Mijn uitleg:

y=e^-.5x²+x
Stel y = e^u met u = -.5x²+x
dy/du = e^u
du/dx = -x + 1

dy/du * du/dx = dy/dx = (-x+1)e^u, u invullen geeft:
dy/dx = (-x+1)e^-.5x²+x

voor de 2e afgeleide de produktregel toepassen:
d(dy)/dx(dx) = (-x+1)[e^-.5x²+x]' + [(-x+1)]' * e^-.5x²+x

Dit geeft na alles netjes uitwerken:
x²e^-.5x²+x - 2xe^-.5x²+x

Deze vergelijking moet gelijk zijn aan 0. Omdat een exponent nooit kan leiden tot een getal kleiner of gelijk aan 0, zul je door middel van e^-.5x²+x uit haakjes werken de factor kunnen achterhalen die wel 0 kan worden, zodat de uitkomst van de gehele vergelijking ook in 0 resulteert.

d(dy)/dx(dx) = (x²-2x)e^-.5x²+x = 0
Omdat voor elke waarde van x geldt dat e^-.5x²+x niet 0 kan worden, moet (x²-2x) gelijk aan 0 zijn. Hierdoor krijg je immers 0 * e^-.5x²+x = 0.

(x²-2x) = 0
x = 0 of x = 2

wat volgt er uit (-x+1)^2 = 1??????

--> x^2 -2x ?????

en trouwens als je de vergelijking p * (-x+1)^2 = p krijgt dan moet (-x+1)^2 toch 1 zijn, want anders klopt je vergelijking niet meer ;)

x^2 - 2x + 1 = 1
x^2 - 2x = 0

Speciaal produkt.

dat zeg ik gamma ;)

wat is er zo speciaal aan?

(a+b)^2 of (a-b)^2 noemen we een speciaal produkt, omdat de uitwerking ervan altijd in de vorm is van respectievelijk a^2 + 2ab + b^2 en a^2 - 2ab - b^2.
Een algemene vorm dus waardoor je gewoon in 1 rats dit uit kan schrijven tot zo'n vorm. Niet zoveel speciaals, 't werkt imho wat sneller itt uitschrijven.

ok, is (a+b)(a-b) = a² - b² dan ook een speciaal product ?:p

Ik vind het ook vrij nutteloos, maar het is me in m'n kop gestampt in de 4e klas. ;). Onze leraar vindt het stoer als je het in 1x uit kan schrijven.

't is ook best stoer hoor, ik kon het namelijk al :p

(a-b)²=a²-2ab+b² :o

maar ze zijn inderdaad handig want ze komen erg vaak voor.
en ze primitiveren/differentieren veel handiger dan dat ze tussen haken staan :)

Oeps, tikfoutje :D :o

nog scherp zo laat op de avond:p

ben nog calculus 2B aan het leren voor tentamen :(

Dat mag, zo lang je de functie waar je door deelt gelijk stelt aan 0.

ok dan, maar buiten haakjes halen is iig "veiliger".