[wiskunde] afgeleiden
 

Bereken de afgeleiden van de volgende functies:

oefening 1

y = x⁴ + 5x² - 12x + 8

oefening 2

y = x(2x + 3)

Kan iemand me hiermee helpen?

y'=4*x³+10*x-12

y=2*x²+3*x, dus y'=4*x+3

dus als ik bv y'=4*x3+10*x-12 als antwoord geef, dan is dat een correct antwoord?

kan je wat tussenstappen zetten? hoe ben je juist tot dat antwoord gekomen? weet je soms een goede online cursus over dit onderwerp?

y = x⁴ + 5x² - 12x + 8

Om afgeleiden van zulk soort funties te bepalen moet je het exponent keer het grondtal doen en van het exponent 1 afhalen.

Dus x⁴ is dus 4*1x⁴ en dan nog 1 van het exponent afhalen wordt dus 4*1x³ = 4x³. En houd er rekening mee dat een enkele x gelijk is aan x¹.

8 kun je niet afleiden want dat is een constant getal :).

En even oefening 2 in tussenstappen:

y = x(2x + 3)

Dit is lastig differentiëren dus daarom werken we de haakjes even weg.

x(2x + 3) = x * 2x + x * 3 = 2x² + 3x

Dan afleiden:

2x² + 3x

Dus expont keer grondgetal en dan 1 van het exponent afhalen.
2 * 2x² en 1 eraf halen is 4x¹ = 4x.
3x is dus eigenlijk 3x¹ wat ik al zei.
Als je dit afleid krijg je dus 1 * 3x en 1 van het exponent afhalen = 3 (exponent is op het begin 1 en 1-1=0 dus geen macht meer).

enorm bedankt!

nog een oefening hierover:

functie y = x³ -3x +2

---
gevraagd:
- de buigpunten van de functie
- de raaklijn in het buigpunt
- de raaklijn in het punt met coordinaat 2
---

de nulpunten berekenen is geen probleem. de functie is deelbaar door (x -1) > (x-1)(x² +x -2) = 0

wat ook weer deelbaar is door (x-1)

(x-1)(x-1)(x + 2)

nulpunten 1 en -2 dus.. hoe bereken ik nu de buigpunten, raaklijn daarin en raaklijn in buigpunt met coordinaat 2?

8 is op te vatten als de constante functie f: x->8. Door de limiet van
(f(x+h)-f(x))/h voor h naderend tot nul te bepalen vind je in dit geval:
f'(x)=0, dus je kunt ook hier wel degelijk de afgeleide bepalen.

@wmostrey: Om de buigpunten te vinden moet je y' differentiëren en het resultaat gelijk stellen aan nul. Uit y=x³-3*x+2 volgt: y'=3*x²-3 en y"=6*x. Het buigpunt vinden we nu uit y"=6*x=0, dus x=0. De bijbehorende y-coördinaat is dan 2, dus het buigpunt is (0,2). Voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in (0,2) bepaal je de afgeleide y' voor x=0. Dit geeft y'=-3 als richtingscoëfficiënt. Bovendien is (0,2) het punt waar de raaklijn in (0,2) de Y-as snijdt, dus de raaklijn in (0,2) heeft de vergelijking y=-3*x+2.

buigpunt --> 2e afgeleide dus de afgeleide van de afgeleide is 0

--> raaklijn --> y = ax + b met a = f' (2) en dan b oplossne door y en x in te vullen met een coordinaat. Dit geldt ook voor het buuigpunt (vul x-coordinaat van het buigpunt in de 1e afgeleide in)

nog een laatste vraag voor vanavond. alvast enorm bedankt voor alle antwoorden en bijdragen!

het gaat nu over oppervlaktefunctie/berekening

oefening 1

Bepaal de oppervlakte begrepen tussen de kromme met vergelijking y = x² en de kromme met vergelijking y = x

oefening 2

Bereken de oppervlakte begrensd door de parabool met vergelijking y = x² - 4 en de X-as

oefening 3

Bereken de oppervlakte ingesloten door de grapieken van de functie f en g:

f: x --> x³ - 4x + 6
g: x --> x² +2

Bestaat er zoiets als de algemene formule of rekenwijze om zo'n oppervlakte te berekenen?

En dan als afsluiter:

oefening 4

Gegeven: de functie y = x³ + x² - (2a - 1)x
Gevraagd: Bepaal a zodat de raaklijn aan de grafiek van de functie x = 1 als richtingscoëfficiënt 1 heeft.

oefening1

bereken de snijpunten van beide functies en gebruik deze als onder en bovengrens.

--> daarna kijk je welke grafie de grootste oppervlak geeft tussen de functie en de x-as.

--> daarna neem je de intergraal van ... tot .... (van de 'grote') - de integraal van de kleine met dezelfde grens

Oefening 2

bereken de nulpunten door f(x) gelijk te stellen aan 0. Gebruik deze als je grenzen.

--> daarna de integraal uitrekenen van ... tot ...

Oefening 3

zelfde als oefening 1:

--> bereken de snijpunten van beide grafieken en neem deze als je grenzen. Zoek de 'grootste oppervlakte' en doe weer de integraal van de grote - integraal van de kleine.

en toen moest ik weg ..... :rolleyes: voor examen natuurkunde

Up...

Kan iemand mij uitleggemn in tussenstappen he je de tweede afgeleide vindt uit de eerste afgeleide?

Mijn docent zei volgens mij dat je ook door middel van raaklijnen een buigpunt kan vinden, weet iemand hoe dit in elkaar steekt?

De tweede afgeleide vind je door de eerste afgeleide te differentiëren.

Als er een buigpunt is gaat de grafiek van de functie in het buigpunt over van bol in hol of omgekeerd. De tweede afgeleide heeft in het buigpunt de waarde nul.

:s

Afleiden :)

Als in gelijkstellen oid? :s

Ben best wel wiskunde-leek. Doe E&M. ;)

Nee, de 2e afgeleide vind je door de 1e afgeleide weer opnieuw af te leiden. Hierbij doelde ik op het feit dat afleiden of differentiëren in deze context zowat synoniemen zijn :)

Wat E&M is weet ik niet (ojé, Belg hier... ;)) maar een 2e afgeleide vinden is gemakkelijk, als je de eerste kan berekenen.

Voorbeeld:
f(x) = x³
f'(x) = (x³)' = 3x²
f''(x) = (f'(x))' = (3x²)' = 6x

Wanneer je hier voor de x 3 invult, klopt het voorbeeld niet meer, volgens mij.

Want:

4³=64

en

3*4²=48

Terwijl je zegt:

Hij zegt niet dat x^3 gelijk is aan 3x^2, maar dat de afgeleide van x^3 gelijk is aan 3x^2, en dat is zo. Je moet bij afgeleides niet zomaar getallen in gaan vullen, daar zie je nix aan.

De tweede afgeleide is gewoon letterlijk zoals zijn naam zegt: de afgeleide van de afgeleide. Je moet dus de eerste afgeleide differentiëren zoals gezegd is. De tweede afgeleide geeft dus de helling weer van de eerste afgeleide functie, oftewel de mate waarin de helling van de oorspronkelijke functie verandert. Als de tweede afgeleide nul is, dan is de helling van de eerste afgeleide dus nul, dus de eerste afgeleide is maximaal/minimaal, oftewel de helling van de oorspronkelijke functie is maximaal/minimaal. Als je dit probeert te visualiseren, dan kom je tot de conclusie dat de helling van de functie voor dit punt toeneemt en na dit punt afneemt (in het geval van een maximum), dus dat de grafiek 'buigt' (dit is niet hetzelfde als een bocht maken, dan verandert de helling, maar hoeft hij niet perse van toenemend naar afnemend te gaan). Daarom heet het dus een buigpunt. Voor een minimale helling geldt natuurlijk dat deze van afnemend naar toenemend gaat. Vergelijk het met een buis waarvan je de uiteinden in tegengestelde richting buigt.

Misschien een beetje moeilijk voor iemand die zichzelf een wiskunde-leek noemt, maar als je dit snapt dan snap je wat een tweede afgeleide inhoudt en kun je die als het goed is vrij gemakkelijk berekenen.

Nee, differentiëren wil zeggen dat je de afgeleide bepaalt. De tweede afgeleide is dus de afgeleide van de eerste afgeleide.

@TD: In het hoger algemeen voortgezet onderwijs (h.a.v.o.) en het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs (v.w.o.) onderscheidt men in de bovenbouw 4 profielen: E&M (Economie en Maatschappij), C&M (Cultuur en Maatschappij), N&G (Natuur en Gezondheid) en N&T (Natuur en Techniek). De bovenbouw van h.a.v.o. en v.w.o. is te vergelijken met wat jullie de hogere cyclus (dus de laatste jaren Middelbaar) noemen.

Als ik dat zo hoor neem ik aan dat het equivalent is met ons ASO (Algemeen Secundair Onderwijs).
Ik heb een oppervlakkige kennis van het Nederlandse systeem maar kende nog niet alle profielen, N&T en N&G bvb wel al - nu weet ik ze allemaal :)

Ik snap het. Bedankt. :)

Niet helemaal. Zo is het wiskunde-onderwijs bij jullie veel abstracter dan hier bij ons. Er komen bij jullie onderwerpen aan de orde die hier in Nederland pas bij het HBO (Hoger Beroeps Onderwijs) en het universitair onderwijs aan bod komen. Denk bijvoorbeeld aan de axioma's voor groepen en topologische ruimten, en een axiomatische opbouw van de meetkunde door middel van vectoren.

Dat het inhoudelijk op wiskunde-vlak niet helemaal synchroon loopt wist ik maar ik doelde dan ook eerder op de richtingen in het algemeen.
Daar lijkt jullie HAVO/VWO toch het (min of meer) Nederlands equivalent van ons ASO, in tegenstelling tot het TSO/BSO (en evt. KSO) bedoel ik dan.

Mijn ervaringen nu ik op de universiteit kennismaak met de producten van het Belgische middelbare onderwijs lijkt het mij dat op wiskundige gebied ze daar meer leren. Misschien is het VWO-HAVO-MAVO equivalente systeem daar wat "extremer" doorgevoerd.

In grote lijnen komt het daar inderdaad wel mee overeen.

@Keith: In de ons omringende landen wordt er in het wiskunde-onderwijs meer de nadruk gelegd op het werken met bepaalde wiskundige structuren (algebraïsche, ordenings- en topologische structuren) dan hier. Het was met name de Bourbakigroep die wat dat betreft de nadruk heeft gelegd op een opbouw van de wiskunde volgens bepaalde structuren.

Dat is dan waarschijnlijk ook de reden dat men op de universiteit weer van meet af aan begint.

Dan doet ze bij ons niet ,ze gaan ervanuit dat alles wat je voor je VWO moest kennen kent en zelfs nog wat meer. Ze gaan gewoon verder waar het VWO je achter heeft gelaten, maar dan met een veel hoger tempo.