Partiële integratie
 

Hoi,
Wie kan me eens tonen en uitleggen hoe je exp(ax)*cos(bx) partieel integreert?
dus: integraal van e tot de a maal xde vermenigvuldigd met cosinus van b maal x

alvast bedankt aan de genie die dit kan oplossen!

INT{ ... }dx staat voor integreren over x.

1 keer partieel integreren levert:

1/a*exp[ax]*cos[bx] + b/a*INT{exp[ax]*sin[bx]}dx

De tweede term nogmaal partieel integreren levert:

1/a*exp[ax]*cos[bx] + b/a²exp[ax]*sin[bx] - b²/a²INT{exp[ax]*cos[bx]}dx

Wat je nu eigenlijk hebt is een vergelijking in de vorm van:

G = 1/a*exp[ax]*cos[bx] + b/a²exp[ax]*sin[bx] - b²/a²*G

Waarbij G de integraal is. Oplossen naar G levert dus:

G(1+b²/a²) = 1/a*exp[ax]*cos[bx] + b/a²exp[ax]*sin[bx]
G = 1/(1+b²/a²)*(1/a*exp[ax]*cos[bx] + b/a²exp[ax]*sin[bx])
G = (a*exp[ax]*cos[bx] + b*exp[ax]*sin[bx])/(a²+b²)

En dat is dus je primitieve.