Parameter functies
 

Weet iemand toevallig een site waar ik wat extra uitleg over Parameter kromme's kan vinden ??? Ik heb vrijdag namelijk tentame onderander over dit onderwerp.

Geef maar een opgave, misschien iemand hier je helpen.

------------------
'You have to have respect for someone who can spell February, even if he spells it wrong.' -Rabbit

K (x,y)=(2cost-cos2t, 2sint-sin2t)
A) teken deze kromme
B) laat zien dat het punt 1,0 een keerpunt is
c) Bewijs de symmetrie-as van K

d) wat zijn de asymtoten van (x,y)=(t-1, 2t+1/t)

Zou iemand me deze dingen kunnen uitleggen, pleaze. vooral B en D heb ik moeite mee

[Dit bericht is aangepast door Vinni (21-02-2001).]

Hallo, Vinni,

Je vroeg om uitleg wat betreft onderdeel B (toon aan dat (1,0) een keerpunt is van de kromme met parametervoorstelling K1 (x,y)=(2cos(t)-cos(2t), 2sin(t)-sin(2t)) en onderdeel D (bepaal de asymptoten van de kromme K2 (x,y)=(t-1, 2t+1/t)).

Onderdeel B gaat als volgt: een keerpunt van een kromme is een punt waar de kromme zichzelf snijdt. Dat betekent dat er 2 waarden voor t zijn (zeg t1 en t2) zodat geldt: (x(t1),y(t1))=(x(t2),y(t2)).
Omdat (1,0) een keerpunt is moet gelden:
2cos(t)-cos(2t)=1 en 2sin(t)-sin(2t)=0. De tweede vergelijking is te schrijven als
2sin(t)-2sin(t)*cos(t)=0,
ofwel 2sin(t)(1-cos(t))=0,
dit geeft 2sin(t)=0 of 1-cos(t)=0
dus sin(t)=0 of cos(t)=1
sin(t)=0 geeft t=0 of t=pi of t=2*pi
cos(t)=1 geeft t=0 of t=2*pi
t=0 geeft 2cos(0)-cos(2*0)=2*1-cos(0)=2-1=1 en 2sin(0)-sin(2*0)=2*0-sin(0)=0-0=0
t=pi geeft 2cos(pi)-cos(2*pi)=-2-1=-3, wat dus al een ander punt geeft als (1,0).
t=2*pi geeft 2cos(2*pi)-cos(4*pi)=2-1=1
en 2sin(2*pi)-sin(4*pi)=0-0=0.
Omdat t=0 en t=2*pi hetzelfde punt op K1 opleveren is dit punt een dubbelpunt.

Om de asymptoten van K2 te bepalen moet je kijken welke waarde(n) t niet kan aannemen en wat er gebeurt als t naar plus of min oneindig gaat. Er geldt:
(x,y)=(t-1, 2t+1/t)). Omdat t de waarde 0 niet aan mag nemen is x=-1 een verticale asymptoot van K2. Omdat x en y geen eindige waarden aannemen als als t naar plus of min oneindig gaat heeft K2 verder geen asymptoten.