Wiskundig probleem...
 

Vraagstelling: is 0,9 (oneindig aantal negens)gelijk aan 1?

Wanneer A-B=0 dan zijn A en B toch gelijk?
1-0,9 (oneindig aantal negens) is toch 0,0 (oneindig aantal nullen) 1? Wanneer dat aantal nullen achter de comma oneindig is dan is die 1 daar weer achter toch te verwaarlozen? Dan houdt je als antwoord van 1-0,9 (Oneindig aantal negens)0,0 (oneindig aantal nullen over). Wanneer achter de comma alleen maar nullen staan dan kan je die toch weg halen? Dan houdt je dus als antwoord 0 over. En wanneer het verschil van 2 getallen 0 is, dan zijn die getallen dus gelijk. Dus is 1 gelijk aan 0,9 (oneindig aantal negens) dus gelijk. Klopt dit???

Om je vraag te kunnen beantwoorden hebben we de begrippen meetkundige rij en som van een meetkundige rij nodig. Een meetkundige rij wordt gevormd door een vast getal a te nemen en dit met een gegeven getal r (de reden) te vermenigvuldigen. Zo'n rij is voor te stellen door de formule a(n)=a*r^n-1 waarbij a(n) de n-de term van de rij voorstelt. Voor de som s(n) van de termen van zo'n rij geldt: s(n)=(a*(1-r^n))/(1-r), mits r niet 1 is. Voor r=1 geldt:
s(n)=n*a.
Wanneer r tussen 0 en 1 ligt kunnen we kijken wat er gebeurt als n steeds groter wordt. De term r^n zal dan steeds dichter bij 0 komen liggen en de som s(n) heeft dan een grenswaarde of limiet s, gegeven door:
s=a/(1-r). Laten we voor a eens de waarde 0,9 kiezen en voor r de waarde 0,1. We krijgen dan een meetkundige rij waarvan de n-de term gegeven is door:
a(n)=0,9*(0,1)^n-1. Omdat 0,1 tussen 0 en 1 ligt heeft s(n) een limiet s die gelijk is aan 0,9/(1-0,1)=0,9/0,9=1. Dit verklaart waarom 1 te schrijven is als 0.999999...
Indien je meer over dit soort zaken wilt weten kun je me bereiken via mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (19-01-2002).]

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (19-01-2002).]

Hier is een iets eenvoudigere mannier :

1/9 = 0,11...

Vermenigvuldig beide leden met 9 :

9/9 = 0,99...

Dus 1 = 0.99..

pol schreef:
Hier is een iets eenvoudigere mannier :
1/9 = 0,11...

Vermenigvuldig beide leden met 9 :

9/9 = 0,99...

Dus 1 = 0.99..

Merk op dat dit een variant is op mijn voorbeeld, met dit verschil dat a en r nu beide de waarde 0,1 hebben, zodat s in dit geval gelijk is aan 0,1/(1-0,1)=0,1/0,9=1/9, waarmee tevens is bewezen dat 1/9 inderdaad als 0.1111...te schrijven is, zodat inderdaad is aan te tonen dat 1=0,9999...

nóg een variantje?

0,9999999...... noemen we x

10x = 9,99999999...
x = 0,99999999...
-------------------- (-) (van elkaar aftrekken)
9x = 9

Dus. x = 1 http://forum.scholieren.com/smile.gif

Nouja, ach het is gewoon een variaqtie op bovenstaand natuurlijk, maar je werkt dan zonder breuken.

Ok het is dus nu bewezen dat 1 gelijk is aan 0,99.. Maar als dat zo is, krijg je dan niet allemaal problemen binnen de wiskunde. Neem nu priem getallen. Iets is een priem getal wanneer het alleen deelbaar is door 1 en zichzelf. Maar we hebben net bepaald dat 1 gelijk is aan 0,99.. Dus is iets dan een priem getal wanneer het alleen deelbaar is door zichzelf en 0,99999..?

En nog iets. 10 is gelijk aan 10*1. Maar dus ook aan 10*0,99.. Maar 10*0,99.. is 9,99.. Klopt de wiskunde dan nog wel??

9.99.. = 9 + 0.99..
En boven staat bewezen dat 0.99.. = 1.
Dus : 9+1=10
En van die priemgetallen : 1=0.99.. (dat staat hierboven meermaals bewezen.)

Ik begrijp niet waar je een probleem ziet. Misschien moet je je probleem eens anders formuleren.

Er is een groot verschil tussen het werken met priemgetallen en het weergeven van een getal als een oneindige (al of niet repeterende) decimale breuk. Priemgetallen treden op als we de deelbaarheidseigenschappen van gehele getallen bestuderen. Wanneer we in plaats daarvan de decimale ontwikkeling van getallen bestuderen komen we terecht bij de theorie van de reële getallen.
Je vraag of de wiskunde nog wel klopt kan beter geformuleerd worden als: is het mogelijk om wiskunde te bedrijven zonder dingen tegen te komen die met elkaar in tegenspraak zijn? Deze vraag vormde de basis voor het onderzoek naar de grondslagen van de wiskunde dat aan het begin van de twintigste eeuw gestalte kreeg. Het gaat te ver om daar hier op in te gaan, maar als je er meer over wilt weten kun je me bereiken via mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.

Dit kan dus pas vanaf 0,99 (er zijn niet perse meer negens nodig). Maar 0,9 kan weer niet.

Dus 0,9 staat niet gelijk aan 1. 0,99 wel.

Ik snap niet goed wat je bedoelt.
0.9 = 9/10 en 0.99 = 99/100, en niet gelijk aan 1.

0.99999... is pas gelijk aan 1 als er oneindig veel negens staan.

Jah, je hebt gelijk, ik lul ook maar wat. http://forum.scholieren.com/biggrin.gif

doch zullen ze nooit gelijk zijn...
je zult het zo moeten noteren:
lim0,99999....=1

Ik dacht dat 0.99... de correcte notatie is.
Je schrijft tweemaal de repetitie en dan drie puntjes.(niet meer en niet minder).

Dit is naar mijn mening inderdaad de juiste notatie. In wiskundeboeken zie je nog een ander soort notatie om een repeterende decimale breuk weer te geven: men plaatst dan een verticale streep over het repeterende gedeelte of men zet een deelstreep door het eerste en het laatste cijfer van het repeterende gedeelte om aan te geven wat het repeterende gedeelte is.

Deze is logisch http://forum.scholieren.com/smile.gif.

Je rond de getallen af. 1/9 is niet 0.11 maar 1/9. 1/10 is wel 0,1

Ik schreef 0.11... waarbij de drie puntjes staan voor een oneidig aantal 1'tjes.
Ik heb dus niets afgerond.

in dat geval is 1=0,99... is goed ik geef jou 1000000 keer 0,99 cent krijg ik van jou 1000000 keer 1 Euro terug deal?

Nog een keer :

0.99 = 99/100

0.99999 = 99999/100000

MAAR

0.99... = 1 (met de drie puntjes een oneidige herhaling van de repetitie).

Ja, snap ik ook wel. Maar 0.9999....= niet 1.
je moet zeggen 0,99...(kleinerdan-teken)1

0.99... = 1 (exact)

Voor een strikt analytisch bewijs moet je hierboven maar eens naar Mathfreak's bewijs kijken. Enige voorkennis van rijen en reeksen is daarvoor wel vereist!