Kan IEMAND deze integraal oplossen?
 

Deze is het:

dx/dt = -x^2+3x-2

Graag met uitwerking, want het antwoord heb ik wel... het lukt me echt niet.

dx/dt = -x^2+3x-2

dat is toch hetzelfde als
de integraal van -x^2 + de integraal van 3x - de integraal van 2


de integraal van -x^2 is -(1/3)x^3 de integraal van 3x = (3/2)x^2 en die van 2 is 2x


de totale integraal is dus: -(1/3)x^3+(3/1)x^2-2x

Erg bedankt, maar volgens mijn boek klopt dit niet en moet het zijn:

x(t)=2-1/(1+C*e^t)

dx/dt = -x^2 + 3x - 2, dan
x(t) = -(1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 2x + C.

Je kunt nakijken of het boek-antwoord juist is door die te differentiëren:

x(t) = 2 - (1 + Ce^t)^-1
dx/dt = Ce^t / (1 + Ce^t)^2.

Lijkt dat dit antwoord niet bij dit probleem hoort.

[Dit bericht is aangepast door wyner (23-03-2002).]

Dit is een differentiaalvergelijking.

dx/dt = -x^2+3*x-2

<=> dx/(-x^2+3*x-2) = dt
(linker lid splitsen in partieelbreuken om makkelijk te integreren)
<=> dx/(x-1) - dx/(x-2) = dt
(linker lid onbepaald integreren naar x, en rechter lid naar t)
<=> ln[(x-1)/(x-2)] = t + C0 (met C0 een constante)
(Nu rest ons enkel nog deze vergelijking naar x op te lossen)
<=>(x-1)/(x-2) = e^t * C (stel C = e^C0)
<=>(1-C*e^t)*x = (1-2*C*e^t)
<=>x = (1-2*C*e^t)/(1-C*e^t)

Dus ik denk dat je hier de verkeerde opgave neergepent.

Maar ja, nu weet je toch hoe het werkt hé.

Ik heb 'm zo opgelost:

-x^2+3x-2=dx/dt
(-1)(x^2-3x+2)=dx/dt
-1(x-1)(x-2)=dx/dt
-1dt=1/(x-1)*1/(x-2)dx

-1t=ln(x-1)/ln(x-2)
C*e^t=(x-1)/(x-2)

Dit antwoord was goed volgens het boek, maar zij zeggen dat x(t)=2-1/(1+C*e^t) daaruit volgt. Ik kan van C*e^t=(x-1)/(x-2) echter geen x(t)=2-1/(1+C*e^t) maken, maar verder weet ik nu hoe ik 'm op moet lossen.