integraal?
 

Wat is de integraal van 1/sin(x) :confused:

F(x)=ln(csc(x)-cot(x))
(volgens Maple dan...);)

1/sin(x)=1/(2*sin(1/2*x)*cos(1/2*x))=tan(1/2*x)/(2*sin²(1/2*x)). Nu geldt: cos²(1/2*x)=1/(tan²(1/2*x)+1), dus 2*sin²(1/2*x)=2(1-1/(tan²(1/2*x)+1))=2([tan²(1/2*x)+1-1]/(tan²(1/2*x)+1))=2*tan²(1/2*x)/(tan²(1/2*x)+1)), dus dx/sin(x)=tan(1/2*x)*(tan²(1/2*x)+1)dx/(2*tan²(1/2*x))
=(tan²(1/2*x)+1)dx/(2*tan(1/2*x)). Stel tan(1/2*x)=t, dan geldt:
dx=2*d(arctan(t))=2*dt/(1+t²),dus dx/sin(x)=2(1+t²)dt/(1+t²)/(2*t)=dt/t, dus de integraal van dx/sin(x)=dt/t is ln|t|=ln|tan(1/2*x)|.

-Log[Cos(x/2)] + Log[Sin(x/2)] volgens mathematica. Tsja. Het zal een kwestie van notatie wezen. De oplossing van Mathfreak begrijp ik nog niet geheel. Zal hem eens een keertje herlezen als ik wiskundiger ingesteld ben :p.

1 / sinx = csc x

--> primitieve = - ln | csc x + cot x |
= - ln | 1/sin x + 1/tan x|

dat was dus de relatie die mij ontschoten was...:(
die primitieve staat gewoon tussen de standaardintegralen en is dus heel Maple niet nodig:)

Mijn oplossing kun je rechtstreeks uit de oplossing volgens Mmathematica aflezen. Vervang de Log-notatie door de notatie ln, herschrijf
-Log[Cos(x/2)] + Log[Sin(x/2)] als ln(sin(1/2*x))-ln(cos(1/2*x)) en maak gebruik van de formule ln(a)-ln(b)=ln(a/b), dan volgt daaruit dat de gezochte integraal gelijk is aan ln(sin(1/2*x)/cos(1/2*x))=ln(tan(1/2*x)). De methode die ik toepaste kun je in ieder boek over integraalrekening terugvinden.

Mja klopt wel. Ik kan me herinneren ook op die integraal gezwoegd te hebben.

Ik snap de uitwerking van mathfreak niet helemaal :(

had zelf de integraal ook al zien staan tussen de standaardintegralen maar wilde graag weten hoe ze eraan kwamen.

Wat ik gedaan heb is een substitutietechniek toepassen die bij het integreren van bepaalde goniometrische functies wordt gebruikt. Het idee is om de substitutie tan(1/2*x)=t toe te passen en de goniometrische functie die je integreert hierin uit te drukken, vandaar dat ik eerst 1/sin(x) in tan(1/2*x) heb uitgedrukt en toen de substitutie tan(1/2*x)=t heb toegepast om
1/sin(x) in de vorm f(t) uit te drukken, waarbij f(t) een rationale functie in t voorstelt.

en wat heeft het met twee halve hoeken te maken? :confused:

Zoals je misschien weet geldt: sin(2*u)=2*sin(u)*cos(u). Dat gebruikte ik om sin(x) te schrijven als 2*sin(1/2*x)*cos(1/2*x). Voor 1/sin(x) levert dat dus: 1/sin(x)=1/(2*sin(1/2*x)*cos(1/2*x)). Wat ik vervolgens deed was teller en noemer vermenigvuldigen met tan(1/2*x). Dit leverde voor de teller
1*tan(1/2*x)=tan(1/2*x), en voor de noemer
2*sin(1/2*x)*cos(1/2*x)*tan(1/2*x)
=2*sin(1/2*x)*cos(1/2*x)*sin(1/2*x)/cos(1/2*x)=2*sin²(1/2*x) op.
Zoals je weet is de afgeleide van tan(u) gelijk aan 1/cos²(u), en met
sin²(u)+cos²(u)=1 geeft dit: 1/cos²(u)=(sin²(u)+cos²(u))/cos²(u)
=sin²(u)/cos²(u)+cos²(u)/cos²(u)=tan²(u)+1, dus cos²(u)=1/(tan²(u)+1). Dit betekent dat sin²(1/2*x) dus in tan²(1/2*x) is uit te drukken, namelijk sin²(1/2*x)=tan²(1/2*x)/(tan²(1/2*x)+1), dus dat betekent dat sin(x), en dus ook 1/sin(x) in tan(1/2*x) en tan²(1/2*x) is uit te drukken. Door vervolgens de substitutie tan(1/2*x)=t toe te passen is 1/sin(x) in t uit te drukken, en uit tan(1/2*x)=t volgt dan 1/2*x=arctan(t), dus x=2*arctan(t), dus dx=d(2*arctan(t))=2*dt/(1+t²). Omdat 1/sin(x) en dx in t zijn uitgedrukt is dx/sin(x)=2(1+t²)dt/(1+t²)/(2*t)=dt/t dat ook, dus is de integraal van dx/sin(x) gelijk aam de integraal van dt/t. Deze heeft de waarde ln|t|
=ln|tan(1/2*x)|.

@Mathfreak

Deze techniek wordt inverse substitutie genoemd, substitutie is als het ware het omgekeerde, een functie uit de integrand vervangen door een variabele.